Physikalisches Institut Ubungsblatt 11¨
Universit¨at Bonn 26. Juni 2018
Theoretische Physik SS 18
Ubungen zur Theoretischen Physik III ¨
Prof. Dr. Hartmut Monien, Iris Golla, Christoph Liyanage Abgabe der Hausaufgaben am 03.07.2018
Besprechung der Anwesenheitsaufgaben am 29.06.2018 Besprechung der Hausaufgaben am 06.07.2018
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/liyanage/Theoretische_Physik_III_SS18/
- ANWESENHEITSAUFGABEN -
A 11.0 Kurze Wissensfragen
1. Wie sind die Energieniveaus des Wasserstoffatoms gegeben? Wie der Entartungsgrad gn
derselbigen? Wie ist der Grundzustand gegeben?
2. Was ist die Methode des selbstkonsistenten Feldes und wozu braucht man sie?
3. Was ist die zweite Quantisierung und wozu braucht man sie?
4. Wie lautet die Wellenfunktion f¨ur ein Viel-Teilchen-System, das ausn nicht wechselwir- kender Bosonen besteht?
5. Wie lautet die Wellenfunktion f¨ur ein Viel-Teilchen-System, das ausn nicht wechselwir- kender Fermionen besteht?
6. Wie lauten die Vertauschungsrelationen zwischen bosonischen Erzeugungs- und Vernich- tungsoperatorenai unda†j?
7. Wie lauten die Vertauschungsrelationen zwischen fermionischen Erzeugungs- und Vernich- tungsoperatorenbi und b†j?
8. Wie sind die Feldoperatoren f¨ur Bosonen und Fermionen definiert? Was ist die physikali- sche Interpretation dieser Operatoren?
9. Wie lauten die Vertauschungsrelationen zwischen bosonischen Feldoperatoren, wie lauten sie f¨ur fermionische Feldoperatoren?
10. Dr¨ucken Sie den Hamiltonoperator H =X
a
−~2 2m
∇2a+U(1)(r~a)
+1 2
X
a,b
U(2)(~ra, ~rb) (1)
durch die Feldoperatoren aus.
- HAUSAUFGABEN -
1
H 11.1 Koh¨ arente Zust¨ ande
(10 Punkte)Wir betrachten erneut die L¨osungen des harmonischen Oszillators. Der Hamiltonoperator dieses Problems l¨asst sich sehr kompakt in der Diracnotation formulieren als
Hˆ = ~ω
2 (ˆaˆa†+ ˆa†ˆa) mit ˆa= rmω
2~
ˆ x+i ~
mω pˆ
.
In Aufgabe H.1, Serie 5, haben wir gesehen, dass f¨ur die station¨aren L¨osungen (Eigenzust¨ande
|ni) dieses Problems gilthn|ˆx|ni= 0.
Um das Verhalten eines harmonischen Oszillators besser zu verstehen, bilden wir Zust¨ande mit hφ(t)|ˆx|φ(t)i 6= 0. Zu diesem Zweck starten wir mit einem (zeitabh¨angigen) Eigenzustand|φ(t)i, f¨ur den ˆa|φ(0)i=α|φ(0)igilt, und entwickeln diesen nach den station¨aren Zust¨anden wie
|φ(t)i=
∞
X
n=0
|nihn|φ(t)i:=
∞
X
n=0
cn(t)|ni . a) Zeigen Sie, dass f¨ur die Koeffizienten dieser Entwicklung gilt (1 Punkt)
cn(t) =cn(0)e−i(n+1/2)ωt
.
Hinweis: Fangen Sie mit der Zeitableitung voncn(t) an. Bedenken Sie, dass die Zust¨ande |φ(t)i die zeitabh¨angige und die |ni die zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung l¨osen.
b) Wie l¨asst sich jeder station¨are Eigenzustand hn|durch Operatoren ˆadarstellen? Zeigen Sie, dass daraus folgt: (1 Punkt)
cn(0) =c αn
√
n! mit c=h0|φ(0)i .
c) Zeigen Sie, dass der Ortsoperatorerwartungswert sich mit der Zeit
”klassisch“ verh¨alt, n¨amlich (2 Punkte)
xklassisch(t) =hφ|ˆx|φi(t)∼cos(ωt−δ) f¨ur α=|α|eiδ . d) Erinnern Sie sich, dass die L¨osung des harmonischen Oszillators wie folgt lautet
ψn(ξ) = 1
√ 2nn!
4
rmω
~π Hn(ξ)e−ξ2/2,
wobei Hn die Hermite-Polynome sind, und zeigen Sie damit, dass f¨ur die Wahrscheinlichkeits- dichte folgt: (2 Punkte)
|φ(ξ, t)|2=c2e|α|2 rmω
π~ e−(ξ−
√2|α|cos(ωt−δ))2 f¨ur ξ= rmω
~ x.
Hinweis: die erzeugende Funktion der Hermite-Polynome ist e−
(x−x0)2
2 e
x2 0
4 =
∞
X
n=0
1 n!
x0
2 n
Hn(x)e−x2/2,
f¨ur mehr solche Identit¨aten und n¨utzlichem Wissen, auch zu hypergeometrischen Funktionen:
https://dlmf.nist.gov/ .
2
Folglich beh¨alt das Wellenpaket seine Form, wobei es um den Punkt ξ0(t) =√
2|α|cos(ωt−δ) zentriert ist - es findet also kein
”Zerfließen“ statt (vgl. H 3.3). Da alle Summanden vonφ(ξ, t) in Phase sind, spricht man bei den φ(ξ, t) von koh¨arenten Zust¨anden.
Wir betrachten nun die Unsch¨arfe bei koh¨arenten Zust¨anden des harmonischen Oszillators.
Es gilt ˆa|φ(t)i=α|φ(t)i.
e) Berechnen Sie hφ(t)|ˆx|φ(t)i,hφ(t)|ˆx2|φ(t)i und schließlich ∆ˆx. Wie h¨angt die Ortsunsch¨arfe von tund α ab? (2 Punkte)
f) Berechnen Siehφ(t)|ˆp|φ(t)i,hφ(t)|ˆp2|φ(t)iund schließlich ∆ˆp. Wie h¨angt die Impulsunsch¨arfe von tund αab? Was folgt daraus f¨ur das Produkt aus Orts- und Impulsunsch¨arfe? (2 Punkte)
H 11.2 Nichtentartete zeitunabh¨ angige St¨ orungstheorie (
10 Punkte) Wir betrachten den eindimensionalen harmonischen Oszillator, der durch eine ¨außere Einwir- kung gest¨ort wird. Der Hamiltonoperator dieser St¨orung sei gegeben durch λH1 = λxk f¨ur k∈N, mit kleinemλ. Der Hamiltonoperator lautetH= p2
2m +mω2x2
2 +λH1 bzw. H= ~ω
2 p2ξ+ξ2
+ ˜λH1, λ˜ = ~2
m2ω2, (2) wobeix=ξ
q
mω~ substituiert wurde, wie auf Zettel 5.
F¨ur die Korrekturen gilt
ψn(x) =ψ(0)(x)n +λψn(1)(x) +λ2ψn(2)(x) +... (3) bzw. |˜ni=|ni+λ|n1i+λ2|n2i+..., |ni:=|n0i, (4) En=En(0)+λEn(1)+λ2En(2)+... (5) a) Was ist das Energiespektrum des ungest¨orteten Oszillators? Wie lassen sich die Energiekor- rekturen erster und zweiter Ordnung berechnen? (1 Punkt)
b) F¨ur welchek ist die Korrektur exakt null? (1 Punkt)
Hinweis: Nutzen Sie f¨ur diese und die folgenden Aufgaben, dass x = q
2mω~ (a+ a†) bzw.
ξ= q1
2(a+a†),(sehen Sie sich dazu nochmal Zettel 5 an).
c) Berechnen Sie die Energiekorrektur explizit der ersten und zweiten Ordnung f¨urk= 4.
(3 Punkte)
Wir wollen nun die zugeh¨orige Wellenfunktion berechnen.
d) Wie l¨asst sich die erste Korrektur der Wellenfunktion berechnen? Leiten Sie das explizit her.
(2 Punkte)
e) Berechnen Sie diese f¨urk= 4. (2 Punkte)
Hinweis: Wenn Sie die Ergebnisse aus c) geschickt nutzen, m¨ussen Sie nicht alles nochmal aus- rechnen.
f) Skizzieren Sie das Potential
V(x) = mω2x2
2 +λx4 (6)
f¨urω2>0 und f¨urω2<0. (1 Punkt)
3
