Mathematik I
Vorlesung im Bachelorstudium BAU, EIT, LRT
Prof. Dr. Matthias Gerdts
Institut f ¨ur Angewandte Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Fakult ¨at f ¨ur Luft- und Raumfahrttechnik
Universit ¨at der Bundeswehr M ¨unchen (UniBw M) matthias.gerdts@unibw.de http://www.unibw.de/ingmathe
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik
Inhalt und Ziele der Lehreinheit:
I Vermittlung von Grundlagen der Logik
I Einf ¨uhrung von Notation (logische Operatoren)
I “Rechenregeln” f ¨ur logische Operatoren
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik
Aussagen beschreiben einen Sachverhalt und sind entweder wahr oder falsch.
In der(Aussagen-)Logik geht es um die Verkn ¨upfung von Aussagen.
Logische Operatoren:(A und B seien Aussagen)
I logischesUND (abgek ¨urzt mit ∧):
A ∧ B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
I logischesODER (abgek ¨urzt mit ∨):
A ∨ B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist.
I Negation (das Gegenteil) einer Aussage (abgek ¨urzt mit ¬): ¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist.
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik
Aussagen beschreiben einen Sachverhalt und sind entweder wahr oder falsch.
In der(Aussagen-)Logik geht es um die Verkn ¨upfung von Aussagen.
Logische Operatoren:(A und B seien Aussagen)
I logischesUND (abgek ¨urzt mit ∧):
A ∧ B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
I logischesODER (abgek ¨urzt mit ∨):
A ∨ B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist.
I Negation (das Gegenteil) einer Aussage (abgek ¨urzt mit ¬): ¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist.
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Aussagenlogik
Aussagen beschreiben einen Sachverhalt und sind entweder wahr oder falsch.
In der(Aussagen-)Logik geht es um die Verkn ¨upfung von Aussagen.
Logische Operatoren:(A und B seien Aussagen)
I logischesUND (abgek ¨urzt mit ∧):
A ∧ B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
I logischesODER (abgek ¨urzt mit ∨):
A ∨ B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist.
I Negation (das Gegenteil) einer Aussage (abgek ¨urzt mit ¬): ¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist.
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Aussagenlogik
Aussagen beschreiben einen Sachverhalt und sind entweder wahr oder falsch.
In der(Aussagen-)Logik geht es um die Verkn ¨upfung von Aussagen.
Logische Operatoren:(A und B seien Aussagen)
I logischesUND (abgek ¨urzt mit ∧):
A ∧ B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
I logischesODER (abgek ¨urzt mit ∨):
A ∨ B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist.
I Negation (das Gegenteil) einer Aussage (abgek ¨urzt mit ¬): ¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist.
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Aussagenlogik
Aussagen beschreiben einen Sachverhalt und sind entweder wahr oder falsch.
In der(Aussagen-)Logik geht es um die Verkn ¨upfung von Aussagen.
Logische Operatoren:(A und B seien Aussagen)
I logischesUND (abgek ¨urzt mit ∧):
A ∧ B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
I logischesODER (abgek ¨urzt mit ∨):
A ∨ B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist.
I Negation (das Gegenteil) einer Aussage (abgek ¨urzt mit ¬): ¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist.
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik
Aussagen beschreiben einen Sachverhalt und sind entweder wahr oder falsch.
In der(Aussagen-)Logik geht es um die Verkn ¨upfung von Aussagen.
Logische Operatoren:(A und B seien Aussagen)
I logischesUND (abgek ¨urzt mit ∧):
A ∧ B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
I logischesODER (abgek ¨urzt mit ∨):
A ∨ B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist.
I Negation (das Gegenteil) einer Aussage (abgek ¨urzt mit ¬): ¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist.
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik
Aussagen beschreiben einen Sachverhalt und sind entweder wahr oder falsch.
In der(Aussagen-)Logik geht es um die Verkn ¨upfung von Aussagen.
Logische Operatoren:(A und B seien Aussagen)
I logischesUND (abgek ¨urzt mit ∧):
A ∧ B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
I logischesODER (abgek ¨urzt mit ∨):
A ∨ B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist.
I Negation (das Gegenteil) einer Aussage (abgek ¨urzt mit ¬): ¬A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist.
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Aussagenlogik – Implikation
M ¨ochte man ausdr ¨ucken, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt, so schreibt man
A =⇒ B (sprich:“Aus A folgt B.”bzw.“A impliziert B.”). Der logische Operator “=⇒” heißtImplikation.
Beachte:
I Die Aussage “A impliziert B” ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.
Aus einer wahren Aussage kann man keine falsche Aussage folgern! Aus einer falschen Aussage kann man aber eine wahre Aussage folgern!
Gilt A =⇒ B, so sagt man auch:
I Die Aussage A isthinreichendf ¨ur die Aussage B.
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik – Implikation
M ¨ochte man ausdr ¨ucken, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt, so schreibt man
A =⇒ B (sprich:“Aus A folgt B.”bzw.“A impliziert B.”). Der logische Operator “=⇒” heißtImplikation.
Beachte:
I Die Aussage “A impliziert B” ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.
Aus einer wahren Aussage kann man keine falsche Aussage folgern! Aus einer falschen Aussage kann man aber eine wahre Aussage folgern! Gilt A =⇒ B, so sagt man auch:
I Die Aussage A isthinreichendf ¨ur die Aussage B.
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Aussagenlogik – Implikation
M ¨ochte man ausdr ¨ucken, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt, so schreibt man
A =⇒ B (sprich:“Aus A folgt B.”bzw.“A impliziert B.”). Der logische Operator “=⇒” heißtImplikation.
Beachte:
I Die Aussage “A impliziert B” ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Aus einer wahren Aussage kann man keine falsche Aussage folgern!
Aus einer falschen Aussage kann man aber eine wahre Aussage folgern! Gilt A =⇒ B, so sagt man auch:
I Die Aussage A isthinreichendf ¨ur die Aussage B.
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Aussagenlogik – Implikation
M ¨ochte man ausdr ¨ucken, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt, so schreibt man
A =⇒ B (sprich:“Aus A folgt B.”bzw.“A impliziert B.”). Der logische Operator “=⇒” heißtImplikation.
Beachte:
I Die Aussage “A impliziert B” ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Aus einer wahren Aussage kann man keine falsche Aussage folgern!
Aus einer falschen Aussage kann man aber eine wahre Aussage folgern!
Gilt A =⇒ B, so sagt man auch:
I Die Aussage A isthinreichendf ¨ur die Aussage B.
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Aussagenlogik – Implikation
M ¨ochte man ausdr ¨ucken, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt, so schreibt man
A =⇒ B (sprich:“Aus A folgt B.”bzw.“A impliziert B.”). Der logische Operator “=⇒” heißtImplikation.
Beachte:
I Die Aussage “A impliziert B” ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Aus einer wahren Aussage kann man keine falsche Aussage folgern!
Aus einer falschen Aussage kann man aber eine wahre Aussage folgern! Gilt A =⇒ B, so sagt man auch:
I Die Aussage A isthinreichendf ¨ur die Aussage B.
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Aussagenlogik – ¨
Aquivalenz
M ¨ochte man ausdr ¨ucken, dass die Aussagen A und B gleichwertig ( ¨aquivalent) sind, so schreibt man
A ⇐⇒ B (sprich:“A ist ¨aquivalent zu B.”bzw.“A gilt genau dann, wenn B gilt.”). Der logische Operator “⇐⇒” heißtAquivalenz¨ .
Beachte:
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Aussagenlogik – ¨
Aquivalenz
M ¨ochte man ausdr ¨ucken, dass die Aussagen A und B gleichwertig ( ¨aquivalent) sind, so schreibt man
A ⇐⇒ B (sprich:“A ist ¨aquivalent zu B.”bzw.“A gilt genau dann, wenn B gilt.”). Der logische Operator “⇐⇒” heißtAquivalenz¨ .
Beachte:
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik – ¨
Aquivalente Aussagen
Es gelten: ¬ (A =⇒ B) ⇐⇒ A ∧ (¬B) ¬(¬A) ⇐⇒ A ¬(A ∧ B) ⇐⇒ (¬A) ∨ (¬B) ¬(A ∨ B) ⇐⇒ (¬A) ∧ (¬B) A =⇒ B ⇐⇒ (¬A) ∨ B A =⇒ B ⇐⇒ (¬B) =⇒ (¬A) A =⇒ B ⇐⇒ (A ∧ (¬B)) =⇒ (¬A) (Widerspruchsbeweis)
Hierin bezeichnen ∧ das logischeUND und ∨ das logische ODER. Beweis: Wahrheitstabellen
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Aussagenlogik – Quantoren
Quantoren:
Das Symbol ∀ ist eine Abk ¨urzung f ¨ur ”f ¨ur alle“. Das Symbol ∃ ist eine Abk ¨urzung f ¨ur
”es existiert ein“.
Beispiel
I Die Aussage“Es gibt ein x ∈ R mit x > 0.”l ¨asst sich mit Quantoren wie folgt schreiben:
∃x ∈ R : x > 0
I Die Aussage“F ¨ur alle x ∈ R gibt es ein y ∈ R mit x + y = 1.”l ¨asst sich mit Quantoren wie folgt schreiben:
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik – Quantoren
Quantoren:
Das Symbol ∀ ist eine Abk ¨urzung f ¨ur ”f ¨ur alle“. Das Symbol ∃ ist eine Abk ¨urzung f ¨ur
”es existiert ein“.
Beispiel
I Die Aussage“Es gibt ein x ∈ R mit x > 0.”l ¨asst sich mit Quantoren wie folgt schreiben:
∃x ∈ R : x > 0
I Die Aussage“F ¨ur alle x ∈ R gibt es ein y ∈ R mit x + y = 1.”l ¨asst sich mit Quantoren wie folgt schreiben:
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik – Quantoren
Quantoren:
Das Symbol ∀ ist eine Abk ¨urzung f ¨ur ”f ¨ur alle“. Das Symbol ∃ ist eine Abk ¨urzung f ¨ur
”es existiert ein“.
Beispiel
I Die Aussage“Es gibt ein x ∈ R mit x > 0.”l ¨asst sich mit Quantoren wie folgt schreiben:
∃x ∈ R : x > 0
I Die Aussage“F ¨ur alle x ∈ R gibt es ein y ∈ R mit x + y = 1.”l ¨asst sich mit Quantoren wie folgt schreiben:
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik – Quantoren
Sei E (x , y , z) ein Ausdruck, der von Parametern (x , y , z) abh ¨ange. DieNegationder Aussage
∀x > 0 ∃y > 0 ∀z : E(x, y , z) lautet
∃x > 0 ∀y > 0 ∃z : ¬E(x, y , z)
Beachte:
I Um eine Aussage mit∀ zu widerlegen, gen ¨ugt es, einGegenbeispiel (∃)zu finden.
I Um eine Existenzaussage mit∃ zu widerlegen, muss eineallgemeine Aussage durch logisches Schließen (∀)bewiesen werden.
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Aussagenlogik – Quantoren
Sei E (x , y , z) ein Ausdruck, der von Parametern (x , y , z) abh ¨ange. DieNegationder Aussage
∀x > 0 ∃y > 0 ∀z : E(x, y , z) lautet
∃x > 0 ∀y > 0 ∃z : ¬E(x, y , z)
Beachte:
I Um eine Aussage mit∀ zu widerlegen, gen ¨ugt es, einGegenbeispiel (∃)zu finden.
I Um eine Existenzaussage mit∃ zu widerlegen, muss eineallgemeine Aussage durch logisches Schließen (∀)bewiesen werden.
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Aussagenlogik – Quantoren
Sei E (x , y , z) ein Ausdruck, der von Parametern (x , y , z) abh ¨ange. DieNegationder Aussage ∀x > 0 ∃y > 0 ∀z : E(x, y , z) lautet ∃x > 0 ∀y > 0 ∃z : ¬E(x, y , z) Beachte:
I Um eine Aussage mit∀ zu widerlegen, gen ¨ugt es, einGegenbeispiel (∃)zu finden.
I Um eine Existenzaussage mit∃ zu widerlegen, muss eineallgemeine Aussage durch logisches Schließen (∀)bewiesen werden.
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Aussagenlogik – Quantoren
Sei E (x , y , z) ein Ausdruck, der von Parametern (x , y , z) abh ¨ange. DieNegationder Aussage ∀x > 0 ∃y > 0 ∀z : E(x, y , z) lautet ∃x > 0 ∀y > 0 ∃z : ¬E(x, y , z) Beachte:
I Um eine Aussage mit∀ zu widerlegen, gen ¨ugt es, einGegenbeispiel (∃)zu finden.
I Um eine Existenzaussage mit∃ zu widerlegen, muss eineallgemeine Aussage durch logisches Schließen (∀)bewiesen werden.
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik – Quantoren
Sei E (x , y , z) ein Ausdruck, der von Parametern (x , y , z) abh ¨ange. DieNegationder Aussage ∀x > 0 ∃y > 0 ∀z : E(x, y , z) lautet ∃x > 0 ∀y > 0 ∃z : ¬E(x, y , z) Beachte:
I Um eine Aussage mit∀ zu widerlegen, gen ¨ugt es, einGegenbeispiel (∃)zu finden.
I Um eine Existenzaussage mit∃ zu widerlegen, muss eineallgemeine Aussage durch logisches Schließen (∀)bewiesen werden.
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik – Quantoren
Sei E (x , y , z) ein Ausdruck, der von Parametern (x , y , z) abh ¨ange. DieNegationder Aussage
∀x > 0 ∃y > 0 ∀z : E(x, y , z) lautet
∃x > 0 ∀y > 0 ∃z : ¬E(x, y , z)
Beachte:
I Um eine Aussage mit∀ zu widerlegen, gen ¨ugt es, einGegenbeispiel (∃)zu finden.
I Um eine Existenzaussage mit∃ zu widerlegen, muss eineallgemeine Aussage durch logisches Schließen (∀)bewiesen werden.
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik – Quantoren
Sei E (x , y , z) ein Ausdruck, der von Parametern (x , y , z) abh ¨ange. DieNegationder Aussage
∀x > 0 ∃y > 0 ∀z : E(x, y , z) lautet
∃x > 0 ∀y > 0 ∃z : ¬E(x, y , z)
Beachte:
I Um eine Aussage mit∀ zu widerlegen, gen ¨ugt es, einGegenbeispiel (∃)zu finden.
I Um eine Existenzaussage mit∃ zu widerlegen, muss eineallgemeine Aussage durch logisches Schließen (∀)bewiesen werden.
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
Aussagenlogik
Zusammenfassung:
I Sie kennen logische Operatoren zur Verkn ¨upfung von Aussagen
I Sie k ¨onnen mithilfe von Wahrheitstabellen verkn ¨upfte Aussagen auswerten
I Sie kennen “Rechenregeln” f ¨ur logische Operatoren.
I Sie wissen, was Implikation (⇒) und ¨Aquivalenz (⇔) bedeutet und wie diese Operatoren anzuwenden sind.
Mathematik I Prof. Dr. Matthias Gerdts
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Questions?
Further information:
matthias.gerdts@unibw.de www.unibw.de/ingmathe
