MATHEMATISCHESINSTITUT
PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL
ERIKCHUDZIK
SINADAHM
DAVIDKERKMANN
PROF. DR. ELENAKLIMENKO
2. JULI2020
Numerik I - 11. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 40: QR-Zerlegung (7 Punkte) Betrachten Sie die Matrix
A=
1 −1 4
1 4 −2
1 4 2
1 −1 0
(a) Bestimmen Sie jeweils eine vollst¨andige und eine reduzierteQR-Zerlegung der Matrix A (i) mit Hilfe des Gram-Schmidt Orthogonalisierungsverfahren,
(ii) mit Hilfe der Householdertransformation und (iii) mit Hilfe der Givens-Rotation.
(b) L¨osen Sie mit Hilfe derQR-Zerlegung der Matrix A das lineare Ausgleichsproblem kAx−bk22 →min f¨urb= (7,5,13,−1)T.
Aufgabe 41: Householder-Reflektionen (3 Punkte) Sei x∈Rn und Q:=
I−2wwT wTw
die Householdermatrix. Zeigen Sie:
(a) Ist der Vektor w=x+kxke1 ungleich Null, dann gilt Qx=−kxke1. (b) Istw=x− kxke1 ungleich Null, dann giltQx=−kxke1.
Aufgabe 42: Lineare Ausgleichsrechnung (4 Punkte)
Ein Forscher untersucht den Zusammenhang zwischen der Anzahl an Sonnenstunden und der Anzahl an verkauften Eiskugeln pro Kunde in einer Eisdiele. Er vermutet, dass die Anzahl der verkauften Eis- kugeln pro Kunde in Abh¨angigkeit von der Anzahl der Sonnenstunden ungef¨ahr einem quadratischen Modell der Form f(t) =a1t2+a2t+a3 folgt. Es wurden die folgenden Daten ermittelt:
ti Sonnenstunden 2 3 5 7
f(ti) verkaufte Eiskugeln pro Kunde 4 5 7 10
Verwenden Sie die Methode der kleinsten Fehlerquadrate zur optimalen Bestimmung derai,i= 1,2,3 des quadratischen Modells f(t) zur Beschreibung der Anzahl der verkauften Eiskugeln pro Kunde.
Geben Sie das entsprechende lineare Ausgleichproblem an.
Stellen Sie die NormalengleichungATAx=ATbauf und l¨osen Sie diese mit der Cholesky-Zerlegung.
Aufgabe 43: Programmieraufgabe (4 Punkte)
Die Datei Daten.txt im Ilias enth¨alt Punkte (xi, yi), i = 0,· · · ,9 in Form eines 10×2 - arrays.
Gesucht sind Koeffizienten c1, c2, c3 undc4, sodass die Funktionf(x) =c1cos(x) +c2sin(x) +c3x+c4 die Daten bestm¨oglich im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate approximiert.
(a) Lesen Sie die Punkte ein und l¨osen Sie das zugeh¨orige lineare Ausgleichsproblem min
c∈R3
ky−Ack2 mittels der reduzierten QR-Zerlegung von A und R¨uckw¨artssubstitution.
In der Dateia43.pyim Ilias finden Sie die FunktionenQR Householder, welche die vollst¨andige QR-Zerlegung einer MatrixA berechnet, und SolveRf¨ur die R¨uckw¨artssubstitution.
Hier ist ||x|| die 2-Norm.
(b) Plotten Sie die Punkte (xi, yi),i= 0,· · ·,9 und die Funktionf in einen Plot.
Abgabe am 9. Juli 2020 bis 16 Uhr.
Besprechung in den ¨Ubungen ab 13. Juli 2020.
