Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. O. Forster
WS 2014/15 31. Okt. 2014
Dirichletreihen und Zetafunktionen
Ubungsblatt 4¨
Aufgabe 13
Sei Sqfr(x) die Menge aller quadratfreien nat¨urlichen Zahlen n6x. Man beweise:
xlim→∞
#Sqfr(x)
x = 1
ζ(2) = 6 π2.
Aufgabe 14 Sei γ die Euler-Mascheronische Konstante. Man beweise:
a) X
n6x
jx n
k =x(logx+ 2γ−1) +O(√ x).
Anleitung. Man zeige als Zwischenschritte X
n6x
jx n
k= X
kℓ6x
1 = X
kℓ6x k6√
x
1 + X
kℓ6x ℓ6√
x
1− X
kℓ6x k,ℓ6√ x
1
= 2 X
k6√x
jx k
k− ⌊√ x⌋2.
b) lim
x→∞
1 x
X
n6x
x n −jx
n
k= 1−γ.
Aufgabe 15
a) Man bestimme alle Dirichlet-Charaktere zum Modul m= 8.
b) Man zeige f¨ur jeden vom Hauptcharakter verschiedenen Dirichlet-Charakter χ L(1, χ)6= 0.
Aufgabe 16 (Fortsetzung von Aufgabe 15) Man stelle die Dirichletreihe
f(s) := 1 3s + 1
11s + 1 19s + 1
27s +. . .=
∞
X
k=0
1 (8k+ 3)s explizit als Linearkombination von L-Reihen L(s, χ) dar.
