Dirichletreihen und Zetafunktionen

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen

Prof. Dr. O. Forster

WS 2014/15 17. Okt. 2014

Dirichletreihen und Zetafunktionen

Ubungsblatt 2¨

Aufgabe 5 Man beweise folgende Darstellungen f¨ur die Euler-Mascheronische Konstante:

a) γ =

∞

X

n=1

n1

n −log 1 + 1

n o,

b) γ = 1−

∞

X

k=2

1

k (ζ(k)−1).

Aufgabe 6 Man beweise:

a) lim

x→∞

X

x<n62x

1

n = log 2,

b) lim

x→∞

X

x<p6x²

1

p = log 2.

Aufgabe 7

a) F¨ur x∈R⁺ und t ∈Rsei S(x, t) := X

16n6x

e^int.

Man zeige: Zu jedem δ mit 0< δ < π existiert eine Konstante K =K(δ)>0, so dass

|S(x, t)|6K f¨ur alle x >0 und alle t∈[δ,2π−δ].

b) Man beweise mittels Abelscher partieller Summation: Die Reihe

∞

X

n=1

e^int n

konvergiert gleichm¨aßig auf jedem Intervall [δ,2π−δ], 0< δ < π.

Aufgabe 8

Man beweise: Die Reihe

∞

X

n=1

1

n^1+it divergiert f¨ur alle t ∈R.