Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. O. Forster
WS 2014/15 28. Nov. 2014
Dirichletreihen und Zetafunktionen
Ubungsblatt 8¨
Aufgabe 29 F¨ur die Tschebyscheffsche Psi-Funktion beweise man die Formel X
n6x
ψx n
= log(⌊x⌋!).
Aufgabe 30
Sei r eine nat¨urliche Zahl. Man beweise folgende Summenformel f¨ur die r-ten Potenzen:
n
X
k=1
kr = 1
r+ 1nr+1+αrrnr+. . .+αr1n
mit rationalen Zahlen αrj, j = 1, . . . , r. Man dr¨ucke diese Koeffizienten αrj durch die Bernoulli-Zahlen aus.
Aufgabe 31 Man beweise:
a)
n
X
k=1
k3 =Xn
k=1
k2 .
b) F¨ur die Teileranzahl-Funktion τ gilt X
d|n
τ(d)3 =X
d|n
τ(d)2
Anleitung: Man beweise die Formel zun¨achst f¨ur eine Primzahl-Potenz n =pk. Aufgabe 32
a) Man beweise folgende Approximation f¨ur die Euler-Mascheronische Konstante γ: F¨ur alle n>1 und r>1 gilt
γ = Xn
k=1
1
k −logn
− 1 2n +
r−1
X
j=1
B2j
2j · 1
n2j + θ·B2r
2r · 1 n2r
mit 0 6θ 61.
b) Man gebe geeignete Werte von n und r an, um damit γ auf 1000 Dezimalstellen genau zu berechnen.
c) Man zeige: F¨ur festes n gilt lim
r→∞
B2r
2r · 1 n2r
=∞.
