Magische Symmetrie!

(1)

Hans Walser!

Magische Symmetrie!

!

www.walser-h-m.ch/hans!

(2)

Magisches Quadrat ungerader Seitenlänge!

(3)

(4)

65!

(5)

65!

(6)

65!

(7)

Median in der Mitte!

(8)

Komplementäre Symmetrie!

(9)

Komplementäre Symmetrie!

(10)

gerade / ungerade!

(11)

Histogramm (unterhöht gezeichnet)!

(12)

Histogramm!

(13)

Histogramm!

(14)

Histogramm!

(15)

Histogramm!

(16)

Histogramm!

(17)

Histogramm!

(18)

Histogramm!

(19)

Histogramm!

(20)

Histogramm!

(21)

Histogramm!

(22)

Histogramm!

(23)

Histogramm!

(24)

(25)

–13!

(26)

Schön!

(27)

0!

(28)

Histogramm!

(29)

Punktsymmetrie im Raum!

(30)

Konstruktion!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

(31)

Konstruktion!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

(32)

Konstruktion!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

(33)

Konstruktion!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

(34)

Konstruktion!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

(35)

Konstruktion!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

mods

( )

3,5 ⁼ ⁻²

(36)

positiv! symmetrisch!

i modp(i, 5) –8 2

–7 3 –6 4 –5 0 –4 1 –3 2 –2 3 –1 4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 0 6 1 7 2 8 3

i mods(i, 5) –8 2

–7 –2 –6 –1 –5 0 –4 1 –3 2 –2 –2 –1 –1 0 0 1 1 2 2 3 –2 4 –1 5 0 6 1 7 2 8 –2

(37)

i modp(i, 5) –8 2

–7 3 –6 4 –5 0 –4 1 –3 2 –2 3 –1 4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 0 6 1 7 2 8 3

i mods(i, 5) –8 2

–7 –2 –6 –1 –5 0 –4 1 –3 2 –2 –2 –1 –1 0 0 1 1 2 2 3 –2 4 –1 5 0 6 1 7 2 8 –2

(38)

i modp(i, 5) –8 2

–7 3 –6 4 –5 0 –4 1 –3 2 –2 3 –1 4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 0 6 1 7 2 8 3

i mods(i, 5) –8 2

–7 –2 –6 –1 –5 0 –4 1 –3 2 –2 –2 –1 –1 0 0 1 1 2 2 3 –2 4 –1 5 0 6 1 7 2 8 –2

(39)

Konstruktion!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

mods

( )

3,5 ⁼ ⁻²

(40)

Konstruktion!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

mods

( )

4,5 ⁼ ⁻¹

(41)

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

0

0 0 0

0 0

0 0 0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

(42)

Konstruktion!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

(43)

Konstruktion!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

(44)

Positionssystem auf der Basis 5!

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2 1×5+2

(45)

0×5+1

0×5–1 –1×5–2

–2×5+2 2×5+1

1×5+0

1×5–2 0×5+2

–1×5+1 –2×5+0

2×5–1

2×5+2 1×5+1

0×5+0 –1×5–1

–2×5–2

–2×5+1 2×5+0

1×5–1 0×5–2

–1×5+2

–1×5+0 –2×5–1

2×5–2

1×5+2 0

0

0 0 0

0 0

0

(46)

0

0 0 0

0 0

0

–12 12

11

10

9

8 7

6

5

4

3 2

1

0

–1 –2

–3

–4

–5

–6

–7 –8

–9

–10

–11

(47)

1 –1

–2

–1 2

i j

2

1

Zentrische kartesische Indizierung!

(48)

1 –1

–2

–1 2

i j

2

1

i − j = 0

Geradengleichung!

(49)

1 –1

–2

–1 2

i j

2

1

i − j = 0

i − j =1

Geradengleichung!

(50)

1 –1

–2

–1 2

i j

2

1

i − j = 0

i − j =1 i +

j = 0

Geradengleichung!

(51)

m_i_,j = mods

( (

i + j

)

^,5

)

Fünfer

!##"##$ × 5 + mods

( (

i − j

)

^,5

)

Einer

!##"##$ i,j ∈ −

{

2,...,2

}

m_i_,_j = mods

( (

i + j

)

^,u

)

u-er

!##"##$ ×u + mods

( (

i − j

)

^,u

)

Einer

!##"##$ i,j ∈ −

{

^u₂⁻¹,...,^u₂⁻¹

}

Gibt ein magisches Quadrat der Seitenlänge 5!

Gibt ein magisches Quadrat der ungeraden Seitenlänge u!

Zentrische kartesische Indizierung!

(52)

m_i_,j = mods

( (

i + j

)

^,5

)

Fünfer

!##"##$ × 5 + mods

( (

i − j

)

^,5

)

Einer

!##"##$ i,j ∈ −

{

2,...,2

}

m_i_,_j = mods

( (

i + j

)

^,u

)

u-er

!##"##$ ×u + mods

( (

i − j

)

^,u

)

Einer

!##"##$ i,j ∈ −

{

^u₂⁻¹,...,^u₂⁻¹

}

Gibt ein magisches Quadrat der Seitenlänge 5!

Gibt ein magisches Quadrat der ungeraden Seitenlänge u!

(53)

Negative Zahlen ohne sichtbare Minuszeichen!

!

Positionssystem auf Basis 5 (exemplarisch)!

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

Zwischenspiel!

(54)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

Zwischenspiel!

(55)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

Zwischenspiel!

(56)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

(57)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

(58)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

(59)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

(60)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

(61)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

(62)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

(63)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

(64)

!

Ziffern: !a !, !b !, !c !, !d !, !e!

Wert: ! –2 !, –1 !, !0 !, !1 !, !2!

!

Beispiele:!

!

daddba = d×5⁵ + a×5⁴ + d×5³ + d×5² + b×5¹ + a×5⁰! = 1×3125+(–2)×625+1×125+ 1× 25 + (–1)×5 + (–2) ! = 2018!

!

bebbde = b×5⁵ + e×5⁴ + b×5³ + b×5² + d×5¹ + e×5^0!

= (–1)×3125+2×625+(–1)×125+(–1)×25+1×5¹+ 2!

= –2018 !

(65)

–12 12

11

10

9

8 7

6

5

4

3 2

1

0

–1 –2

–3

–4

–5

–6

–7 –8

–9

–10

–11

Beispiele:!

(66)

Beispiele:!

aa ee

eb

ec

eb

ea de

dd

dc

db

da ce

cd

cc

cb ca

be

bd

bc

bb

ba ae

ad

ac

ab

(67)

Beispiele:!

aa ee

eb

ec

eb

ea de

dd

dc

db

da ce

cd

cc

cb ca

be

bd

bc

bb

ba ae

ad

ac

ab

(68)

Beispiele:!

aa ee

eb

ec

eb

ea de

dd

dc

db

da ce

cd

cc

cb ca

be

bd

bc

bb

ba ae

ad

ac

ab

(69)

Beispiele:!

aa ee

eb

ec

eb

ea de

dd

dc

db

da ce

cd

cc

cb ca

be

bd

bc

bb

ba ae

ad

ac

ab

(70)

Orthogonale lateinische Quadrate!

!

Euler, Leonhard (1782) : E 530 !

!

Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques!

!

Vlissingen 1782 - Opera I 7, p. 291-392.!

!

(71)

Verknüpfung!

(72)

Verknüpfung!

(73)

Verknüpfung!

(74)

Verknüpfung!

(75)

Verknüpfung!

(76)

Verknüpfung!

(77)

Verknüpfung!

(78)

Verknüpfung!

gerade / ungerade!

(79)

Verknüpfung mit vertauschten Rollen!

(80)

(81)

(82)

(83)

Nicht kommutativ!

(84)

Nicht kommutativ!

(85)

gerade / ungerade!

(86)

Seitenlänge 15 direkt mit Formel!

(87)

(88)

gerade / ungerade!

(89)

Magische Symmetrie!

Magische Symmetrie!

( )

( )

( )

( (

)

)

( (

)

)

{

}

( (

)

)

( (

)

)

{

}

( (

)

)

( (

)

)

{

}

( (

)

)

( (

)

)

{

}

Danke!