1: Magisches Quadrat der Seitenlänge 3 Die Abbildung 2 zeigt das zugehörige Histogramm

Hans Walser, [20171023]

Magische Quadrate überlagern 1 Worum geht es?

Es werden magische Quadrate verschiedener ungerader Seitenlängen überlagert. Vorge- hen exemplarisch mit den Seitenlänge 3 und 5.

2 Fünf mal drei 2.1 Seitenlänge 3

Die Abbildung 1 zeigt ein magisches Quadrat der Seitenlänge 3. Die Zahlen laufen von 0 bis 8. Das magische Quadrat wurde nach dem in [1] geschilderten Verfahren herge- stellt.

5 6 1 0 4 8 7 2 3

Abb. 1: Magisches Quadrat der Seitenlänge 3

Die Abbildung 2 zeigt das zugehörige Histogramm. Es ist mit dem Faktor ₁₅¹ unterhöht gezeichnet.

Abb. 2: Histogramm

Die Abbildung 3 zeigt dieses magische Quadrat in 25 Exemplaren extended. Es handelt sich natürlich immer noch um ein magisches Quadrat. Die Zahlen laufen mehrfach von 0 bis 8.

5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1

0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8

7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3

5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1

0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8

7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3

5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1

0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8

7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3

5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1

0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8

7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3

5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1 5 6 1

0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8

7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3

Abb. 3: Magisches Quadrat der Seitenlänge 15

Die Abbildung 4 zeigt das zugehörige Histogramm.

Abb. 4: Niedlich

2.2 Seitenlänge 5

Die Abbildung 5 zeigt ein magisches Quadrat der Seitenlänge 5. Die Zahlen laufen von 0 bis 24. Das magische Quadrat wurde nach dem in [1] geschilderten Verfahren herge- stellt.

13 19 20 1 7 9 10 16 22 3 0 6 12 18 24 21 2 8 14 15 17 23 4 5 11

Abb. 5: Magisches Quadrat der Seitenlänge 5

Die Abbildung 6 zeigt das zugehörige Histogramm.

Abb. 6: Histogramm

Die Abbildung 7 zeigt 25 Felder der Seitenlänge 3, in denen sich lauter gleiche Zahlen befinden. Diese sind das 9-fache der Zahlen in entsprechender Lage in der Abbildung 5.

117 117 117 171 171 171 180 180 180 9 9 9 63 63 63 117 117 117 171 171 171 180 180 180 9 9 9 63 63 63 117 117 117 171 171 171 180 180 180 9 9 9 63 63 63 81 81 81 90 90 90 144 144 144 198 198 198 27 27 27 81 81 81 90 90 90 144 144 144 198 198 198 27 27 27 81 81 81 90 90 90 144 144 144 198 198 198 27 27 27 0 0 0 54 54 54 108 108 108 162 162 162 216 216 216 0 0 0 54 54 54 108 108 108 162 162 162 216 216 216 0 0 0 54 54 54 108 108 108 162 162 162 216 216 216 189 189 189 18 18 18 72 72 72 126 126 126 135 135 135 189 189 189 18 18 18 72 72 72 126 126 126 135 135 135 189 189 189 18 18 18 72 72 72 126 126 126 135 135 135 153 153 153 207 207 207 36 36 36 45 45 45 99 99 99 153 153 153 207 207 207 36 36 36 45 45 45 99 99 99 153 153 153 207 207 207 36 36 36 45 45 45 99 99 99

Abbildung 7: Aufgeblasene Abbildung 5

Die Abbildung 8 zeigt das zugehörige Histogramm. Wir sehen Plateaus.

Abb. 8: Histogramm

2.3 Überlagerung

Nun setzen wir auf jedes der 25 Felder mit gleichen Zahlen das magische Quadrat der Abbildung 1 auf. Anders gesagt: wir addieren die magischen Quadrate der Abbildungen 3 und 7. Dies gibt das magische Quadrat der Abbildung 9.

122 123 118 176 177 172 185 186 181 14 15 10 68 69 64 117 121 125 171 175 179 180 184 188 9 13 17 63 67 71 124 119 120 178 173 174 187 182 183 16 11 12 70 65 66 86 87 82 95 96 91 149 150 145 203 204 199 32 33 28 81 85 89 90 94 98 144 148 152 198 202 206 27 31 35 88 83 84 97 92 93 151 146 147 205 200 201 34 29 30 5 6 1 59 60 55 113 114 109 167 168 163 221 222 217 0 4 8 54 58 62 108 112 116 162 166 170 216 220 224 7 2 3 61 56 57 115 110 111 169 164 165 223 218 219 194 195 190 23 24 19 77 78 73 131 132 127 140 141 136 189 193 197 18 22 26 72 76 80 126 130 134 135 139 143 196 191 192 25 20 21 79 74 75 133 128 129 142 137 138 158 159 154 212 213 208 41 42 37 50 51 46 104 105 100 153 157 161 207 211 215 36 40 44 45 49 53 99 103 107 160 155 156 214 209 210 43 38 39 52 47 48 106 101 102

Abb. 9: Magisches Quadrat

Die Abbildung 10 zeigt das zugehörige Histogramm. Es ist die Überlagerung der beiden Histogramme der Abbildungen 4 und 8.

Abb. 10: Histogramm

2.4 Symmetrien

Im magischen Quadrat der Abbildung 9 können Symmetrien sichtbar gemacht werden.

In der Abbildung 11 sind alle geraden Zahlen gelb unterlegt.

Abb. 11: Gerade Zahlen

In der Abbildung 12 sind alle durch drei teilbare Zahlen gelb unterlegt.

Abb. 12: Vielfache von 3

In der Abbildung 13 sind die Vielfachen von 9 gelb unterlegt.

Abb. 13: Vielfache von 9

Wenn wir die gelb unterlegten Zahlen herausgreifen und durch 9 dividieren, erhalten wir das magische Quadrat der Abbildung 5.

3 Drei mal fünf

3.1 Das magische Quadrat

Wir vertauschen gegenüber dem vorhergehenden Abschnitt die Rollen der beiden Zah- len drei und fünf. Dies führt zum magischen Quadrat der Abbildung 14.

138 144 145 126 132 163 169 170 151 157 38 44 45 26 32 134 135 141 147 128 159 160 166 172 153 34 35 41 47 28 125 131 137 143 149 150 156 162 168 174 25 31 37 43 49 146 127 133 139 140 171 152 158 164 165 46 27 33 39 40 142 148 129 130 136 167 173 154 155 161 42 48 29 30 36 13 19 20 1 7 113 119 120 101 107 213 219 220 201 207

9 10 16 22 3 109 110 116 122 103 209 210 216 222 203 0 6 12 18 24 100 106 112 118 124 200 206 212 218 224 21 2 8 14 15 121 102 108 114 115 221 202 208 214 215 17 23 4 5 11 117 123 104 105 111 217 223 204 205 211 188 194 195 176 182 63 69 70 51 57 88 94 95 76 82 184 185 191 197 178 59 60 66 72 53 84 85 91 97 78 175 181 187 193 199 50 56 62 68 74 75 81 87 93 99 196 177 183 189 190 71 52 58 64 65 96 77 83 89 90 192 198 179 180 186 67 73 54 55 61 92 98 79 80 86

Abb. 14: Magisches Quadrat

Die Abbildung 15 zeigt das zugehörige Histogramm.

Abb. 15: Histogramm

3.2 Symmetrien

In der Abbildung 16 sind alle geraden Zahlen des magischen Quadrates der Abbildung 14 gelb unterlegt. Die Anordnungen unterscheiden sich gegenüber der Abbildung 11.

Abb. 16: Gerade Zahlen

In der Abbildung 17 sind alle durch drei teilbaren Zahlen gelb unterlegt. Wir erkennen ein Parkett. Die Anordnungen unterscheiden sich gegenüber der Abbildung 12.

Abb. 17: Durch drei teilbare Zahlen

In der Abbildung 18 sind alle durch 25 teilbaren Zahlen gelb unterlegt.

Abb. 18: Durch 25 teilbare Zahlen

Wenn wir diese Zahlen herausgreifen und durch 25 dividieren, erhalten wir das magi- sche Quadrat der Abbildung 1.

3.3 Unterschiede

Die beiden magischen Quadrate der Abbildungen 9 und 14 unterscheiden sich. Unser Konstruktionsverfahren ist nicht kommutativ. Die Abbildung 19 zeigt das Differenzen- quadrat.

–16 –21 –27 50 45 9 16 16 30 ^–143 –23 –34 23 43 32

–17 –14 –16 24 47 20 20 18 16 ^–144 –21 –18 22 20 43

–1 –12 –17 35 24 24 31 20 15 ^–158 –14 –19 33 22 17

–60 –40 –51 –44 –44 –80 –3 –8 –19 38 158 172 –1 –6 –12 –61 –63 –40 –40 –42 –69 –29 –6 –3 37 160 158 –2 1 –1

75 64 64 96 85 –20 32 26 46 98 –13 –18 ^{–186 –172 –177}

–4 –4 –15 37 57 –54 3 –2 –13 64 –41 –47 5 0 14

0 –2 –4 36 34 –38 2 0 –2 38 –34 –36 4 2 0

–14 0 –5 47 41 –64 13 2 –3 54 –57 –37 15 4 4

177 172 186 18 13 –98 –46 –26 –32 20 –85 –96 –64 –64 –75

1 –1 2 ^{–158 –160} –37 3 6 29 69 42 40 40 63 61

12 6 1 ^{–172 –158} –38 19 8 3 80 44 44 51 40 60

–17 –22 –33 19 14 158 –15 –20 –31 –24 –24 –35 17 12 1 –43 –20 –22 18 21 144 –16 –18 –20 –20 –47 –24 16 14 17 –32 –43 –23 34 23 143 –30 –16 –16 –9 –45 –50 27 21 16

Abb. 19: Differenzenquadrat

Das Differenzenquadrat ist antipunktsymmetrisch. Punktsymmetrisch zum Zentrum gelegene Zahlen sind entgegengesetzt gleich.

4 Direkte Konstruktion eines magischen Quadrates 4.1 Das magische Quadrat

Die Abbildung 20 zeigt ein magisches Quadrat der Seitenlänge 15, das direkt nach dem in [1] geschilderten Verfahren hergestellt wurde.

113 129 145 161 177 193 209 210 1 17 33 49 65 81 97 99 115 131 147 163 179 180 196 212 3 19 35 51 67 83 85 101 117 133 149 150 166 182 198 214 5 21 37 53 69 71 87 103 119 120 136 152 168 184 200 216 7 23 39 55 57 73 89 90 106 122 138 154 170 186 202 218 9 25 41 43 59 60 76 92 108 124 140 156 172 188 204 220 11 27 29 30 46 62 78 94 110 126 142 158 174 190 206 222 13 0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 211 2 18 34 50 66 82 98 114 130 146 162 178 194 195 197 213 4 20 36 52 68 84 100 116 132 148 164 165 181 183 199 215 6 22 38 54 70 86 102 118 134 135 151 167 169 185 201 217 8 24 40 56 72 88 104 105 121 137 153 155 171 187 203 219 10 26 42 58 74 75 91 107 123 139 141 157 173 189 205 221 12 28 44 45 61 77 93 109 125 127 143 159 175 191 207 223 14 15 31 47 63 79 95 111

Abb. 20: Magisches Quadrat der Seitenlänge 15

4.2 Histogramm

Die Abbildung 21 zeigt das zugehörige Histogramm.

Abb. 21: Histogramm

Die Abbildung 22 zeigt eine andere Sicht auf dasselbe Histogramm.

Abb. 22: Wo Berge sich erheben

4.3 Symmetrien

Die Symmetrien sind nochmals anders.

In der Abbildung 23 sind die geraden Zahlen des magischen Quadrates der Abbildung 20 gelb unterlegt.

Abb. 23: Gerade Zahlen

In der Abbildung 24 sind die durch drei teilbaren Zahlen gelb unterlegt. Dieses Muster hatten wir schon in der Abbildung 12.

Abb. 24: Durch drei teilbare Zahlen

In der Abbildung 24 sind die durch sieben teilbaren Zahlen gelb unterlegt.

Abb. 25: Durch sieben teilbare Zahlen

Websites

[1] Hans Walser: Magische Quadrate ungerader Seitenlänge (23.10.2017):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mag_Quadrate/Mag_Quadrate.htm [2] Hans Walser: Magische Quadrate quadrieren (23.10.2017):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Mag_Quadrate2/Mag_Quadrate2.htm