2 1 Name: M G B 1 ¨ L /M T P T P C ¨ ¨U

(1)

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^{BUNGEN ZUR}

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HEORETISCHEN

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^HYSIK

C

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EHRAMTSKANDIDATEN

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^ODERNE

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HEORETISCHE

P

^HYSIK

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ETEOROLOGEN UND

G

^EOPHYSIKER

B

^LATT

1

Prof. Dr. F.R. Klinkhamer; Dr. S.Thambyahpillai Abgabe: 27. 10. 10 Institut f ¨ur Theoretische Physik Besprechung: 29. 10. 10

Name:

. . . . Bitte die Gruppe ankreuzen und dieses Blatt mit abgeben (bitte tackern):

Gruppe

1

Wolfgang Hollik Gruppe

2

Ramona Gr ¨ober

∗

Aufgabe 1: Inkompressible Fl ¨ussigkeit 4

Der Fluß einer inkompressiblen Fl ¨ussigkeit um einen Zylinder mit RadiusR wird be- schrieben durch das Geschwindigkeitsfeld~v (wobeiρ² :=x²+y² > R² gilt)

vx =v⁰(1− R²

ρ²) + 2v⁰y²R²

ρ⁴ , vy =−2v⁰xyR²

ρ⁴ , vz = 0.

i) Zeigen Sie, daß∇ ·~v= 0gilt. Was bedeutet das physikalisch? 1P ii) Zeigen Sie, daß∇ ×~v= 0gilt. Was bedeutet das physikalisch? 1P iii) Ausii) folgt daß~v = ∇ψ, d.h. die durch~v beschriebene Str ¨omung ist eine soge- 2P

nannte Potentialstr ömung. Versuchen Sie, ψ zu finden. (Hinweis: versuchen Sie, ψ aus einer Komponente der obigen Vektorgleichung zu bestimmen, z. B. aus vx = ∂xψ; das so gefundene ψ muß die zweite Gleichung vy = ∂yψ wegen der Integrabilitätsbedingung∇ ×~v = 0automatisch erf üllen, wenn allfällige Integra- tionskonstanten richtig gewählt werden.)

Was muß f ¨ur∆ψ gelten?

Aufgabe 2: Satz von Gauß und Stokes 2

Gegeben ist das Vektorfeld

~v =





 xy 2yz 3xz







∗20. Oktober 2010 18:36 Uhr

(bitte wenden)

(2)

i) Uberpr üfen Sie den Satz von Gauß f ür den W ürfel mit den Eckpunkten (0,0,0),¨ 1P (2,0,0), (0,2,0), (2,2,0), (0,0,2), (2,0,2), (0,2,2), (2,2,2).

ii) Uberpr ¨ufen Sie den Satz von Stokes f ¨ur das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0,0),¨ 1P (0,2,0), (0,0,2).

Aufgabe 3: Laplace-Gleichung 3

Bestimmen Sie die allgemeinste L ¨osung der Laplace-Gleichung∆Φ = 0mit der Zusatz- forderung

i) Φ(~x) = Φ(r), r=p 1P

x²+y²+z²

ii) Φ(~x) = Φ(ρ), ρ=p 1P

x²+y²

iii) Φ(~x) = Φ(x) 1P

Geben Sie in jedem Fall eine L ösung an, die in~x = 0 regulär ist und, soweit m öglich, eine L ösung, die im Unendlichen verschwindet (die triviale L ösungΦ≡0gilt nicht).

Aufgabe 4: Nabla-Operator in Kugelkoordinaten 3

Leiten Sie die Form von∇und∆ = ∇² in Kugelkoordinaten her. Hierbei soll der Vek- toroperator ∇ in der Orthonormalbasis {~er, ~eθ, ~eφ} der Kugelkoordinaten ausgedr ¨uckt werden (beachten Sie, daß die Ableitungen dieser Basisvektoren im Allgemeinen nicht verschwinden).