2 1 Name: M G B 2 ¨ L /M T P T P C ¨ ¨U

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EHRAMTSKANDIDATEN

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HEORETISCHE

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ETEOROLOGEN UND

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^EOPHYSIKER

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2

Prof. Dr. F.R. Klinkhamer; Dr. S.Thambyahpillai Abgabe: 03. 11. 10 Institut f ¨ur Theoretische Physik Besprechung: 05. 11. 10

Name:

. . . . Bitte die Gruppe ankreuzen und dieses Blatt mit abgeben (bitte tackern):

Gruppe

1

Wolfgang Hollik Gruppe

2

Ramona Gr ¨ober

∗

Aufgabe 1: Wasserstoffatom 2

Das Wasserstoffatom im Grundzustand wird durch folgende Ladungsdichte beschrie- ben: Die Kernladung ist punktf ¨ormig im Ursprung konzentriert,

ρ_k= e 4πr²δ(r)

und die mittlere Elektronenladungsdichte ist durch ρ_e=− e

πa³e^−2ar

gegeben, wobeiader Bohr’sche Radius ist.

i) Berechnen Sie unter Verwendung des Gauß’schen Satzes die elektrische Feldst¨arke 1P und das Potential der Ladungsverteilungρ=ρk+ρe.

ii) Diskutieren Sie die Grenzf¨aller≪aundr≫a. 1P

Aufgabe 2: Fl¨achenladung 2

Eine unendlich ausgedehnte Ebene sei mit der homogenen Fl¨achenladung (Ladung pro Fl¨acheneinheit)ρ_F =const belegt. Berechnen Sie die Feldst¨arke und das Potential.

∗22. Oktober 2010 15:02 Uhr

(bitte wenden)

Aufgabe 3: Linearer Quadrupol 3 Ein linearer elektrischer Quadrupol bestehe aus drei Punktladungen, die entlang der z-Achse angeordnet sind: die Ladungqan der Position(0,0, a), die Ladung−2q an der Position(0,0,0)und die Ladungqan der Position(0,0,−a).

i) Berechnen Sie das Potential f ¨ur sehr große Abst¨ande r := |~x| ≫ a in f ¨uhrender 2P Ordnung ina.

ii) Berechnen Sie die zum ini)berechneten Quadrupol-Potential geh ¨orende Feldst¨arke 1P in den beiden Orthonormalbasen{~ex, ~ey, ~ez}und{~er, ~eθ, ~eϕ}.

Aufgabe 4: Potential auf der Kugeloberfl¨ache 5

Auf der Oberfl¨ache einer Kugel mit RadiusRsei das PotentialU(θ, ϕ)vorgegeben.

Das Potential im Innenraumr < R(Außenraumr > R) kann in der Form

Φ(r, θ, ϕ) = R|R²−r²| 4π

Z

dΩ^′ U(θ^′, ϕ^′)

(r²+R²−2rRcosα)^3/2

dargestellt werden, wenn der Innenraum (Außenraum) der Kugel ladungsfrei ist. Hier- bei istcosα= cosθcosθ^′+ sinθsinθ^′cos(ϕ−ϕ^′)unddΩ^′ = sinθ^′dθ^′dϕ^′.

i) Zeigen Sie, daß das Potential f ¨urr < Rin die ¨aquivalente Form 2P

Φ(r, θ, ϕ) =

∑

∞ l=0

∑

l m=−l

Clm

r

R l

Ylm(θ, ϕ)

¨ubergef ¨uhrt werden kann, wobei

C_lm = Z

dΩ^′Y_lm^∗ (θ^′, ϕ^′)U(θ^′, ϕ^′)

ii) Wie lautet das entsprechende Resultat f ¨ur das Potential außerhalb der Kugelober- 1P fl¨ache?

iii) Ben ¨utzen Sie die obige Formel (und das entsprechende Resultat außerhalb der Ku- 2P geloberfl¨ache), um die Potentiale inner- und außerhalb der Kugeloberfl¨ache f ¨ur die vorgegebenen PotentialeU¹ = cosθ und U² = sin 2θsinϕ auf der Kugelober- fl¨ache zu berechnen.