Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt Nr. 6 zur Theorie A

Universit¨at Karlsruhe Wintersemester 2003/04 Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie 28.11.03 Prof. Dr. Ralph v. Baltz, Dr. Philip Howell http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/

Sprechstunde: Fr 13:00–14:00 Physikhochhaus 10.14 howell@tkm.physik.uni-karlsruhe.de

Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt Nr. 6 zur Theorie A

1 Differentialgleichungen

Richtungsfeld und Form der L¨osung: Siehe Skizze.

x y

y^′(x)≡dy

dx=−xy ⇒ dy

y =−xdx ⇒ Z dy

y =− Z

xdx

⇒ lny=−1

2x²+c ⇒ y(x) = e^−x2/2+c≡Ae^−x2/2 A, csind Integrationskonstanten (A= e^c). Bestimmte L¨osung:

y(x= 0) = 2 ⇒ 2 =Ae⁰ ⇒ A= 2 ⇒ y(x) = 2 e^−x2/2 2 Abk¨uhlung von Milchkaffee

(a) Die zeitliche ¨Anderung der W¨armeenergieWeines K¨orpers ist proportional zum Tem- peraturunterschied mit der Umgebung:

dW

dt =−κ(T−T0) ⇒ mcdT

dt =−κ(T−T0) Minuszeichen:Wnimmt ab fallsT > T0 ⇒ der K¨orper k¨uhlt ab.

κ >0 ist die Proportionalit¨atskonstante.Merke:Ein Becher Fl¨ussigkeit k¨uhlt haupts¨ach- lich durch Verdunstung ab, die von der Gr¨oße der Oberfl¨ache abh¨angt. Diese bleibt unver¨andert, wenn man Milch zum Kaffee zugibt.

Trennung der Ver¨anderlichen:

dT T−T0

=−κdt mc ⇒

Z dT T−T0

=− Z κdt

mc

⇒ ln(T−T0) =−κt

mc+A ⇒ T−T0= e^−mcκt+A≡Be^−mcκt

⇒ T(t) =T0+Be^−mcκt

IntegrationskonstanteB bestimmen: SeiT(t= 0) =T^′

⇒ T^′=T0+B ⇒ B=T^′−T0 ⇒ T(t) =T0+ (T^′−T0) e^−mcκt (b) • Zuerst Milch zum Kaffee geben:

Eine Mischung vonMKschwarzem Kaffee mit TemperaturT1 undMM Milch mit TemperaturT0ergibt eine Mengem=MK+MMMilchkaffee mit TemperaturT^′. T’ durch Erhaltung der W¨armeenenergie bestimmen:

(MK+MM)cT^′=MKcT1+MMcT0 ⇒ T^′=MKT1+MMT0

MK+MM

Abk¨uhlung des Milchkaffees:

TM K(t) =T0+

µMKT1+MMT0

MK+MM

−T0

¶

e−_(MM+M^κt _K)c

=T0+MK(T1−T0) MK+MM

e−_(M ^κt

M+MK)c (1)

• Zuerst abk¨uhlen lassen:

MKKaffee mit TemperaturT1 ⇒ nach Zeitthat der schwarze Kaffee die Tem- peraturTsK(t) =T0+ (T1−T0) e−_M^κt_Kc

JetztMMMilch mit TemperaturT0dazu geben; die Temperatur des Milchkaffees ist

TM K(t) =MKTK(t) +MMT0

MK+MM

= 1

MM+MK

· MK

µ

T0+ (T1−T0) e−_M^κt

Kc

¶ +MMT0

¸

=T0+MK(T1−T0) MK+MM

e−_M^κt_Kc (2)

Die Ausdr¨ucke (1) und (2) sind identisch bis auf den Nenner im Exponenten, der in (1) gr¨oßer ist als in (2),−_(M ^κt

M+MK)c >−_M^κt

Mc, also ist die e-Funktion gr¨oßer (x > y⇔e^x>e^y). F¨ur festetist daher (1) gr¨oßer als (2), also k¨uhlt der Milchkaffee schneller auf eine gew¨unschte Temperatur ab, wenn man erst zum Schluss die Milch zum Kaffee gibt.

3 Schiefer Wurf mit Reibung

(a) Kr¨afte:F_Reibung=−mγr,FSchwerkraft=−mgzˆ. mv˙z=X

F ⇒ mdvz

dt =−mg−mγvz ⇒

Z dvz

g+γvz

=− Z

dt

⇒ 1

γln(g+γvz) =−t+A ⇒ vz(t) =1 γ

¡−g+Be^−γt¢

IntegrationskonstanteB durch Anfangsbedingungen bestimmen:

vz(0) =v0 ⇒ v0=1

γ(−g+B) ⇒ vz(t) =−g γ+

µg γ +v0

¶ e^−γt

F¨urt→ ∞f¨allt der K¨orper mit konstanter GeschwindigkeitvEnd= limt→∞vz(t) =−^g_γ.

Grenzfallγ→0:

vz(t) =g γ

¡−1 + e^−γt¢

+v0e^−γt=g

γ[−1 + (1−γt+· · ·)] +v0(1 +· · ·) =v0−gt Integrieren:

z(t) = Z

vz(t) dt=−gt γ −1

γ µg

γ+v0

¶

e^−γt+c Mitz(0) = 0 ⇒ c=1 γ

µg γ+v0

¶

⇒ z(t) =−gt γ −1

γ µg

γ+v0

¶¡ e^−γt−1¢

(3) K¨orper 1:v0= 0 ⇒ f¨ur große Zeitenz1(t) =−^gt_γ −_γ^g2(e^−γt−1)≃ −^gt_γ+_γ^g2

K¨orper 2:v0=vEnd=−^g_γ ⇒ f¨ur große Zeitenz2(t) =−^gt_γ Abstand zwischen den beiden istg/γ²= konst.

(b)

m˙vz=X

F=−mg−mγvz Anfangsbedingung:vz(t= 0) =v0z≡v0sinα mv˙x=X

F=−mγvx Anfangsbedingung:vx(t= 0) =v0x≡v0cosα Die L¨osung f¨urz(t) ist durch (3) mitv0→v0zgegeben. Die DGL f¨urvx(t) ist identisch zu der f¨urvz(t) mitg= 0, also setzeg→0 undv0→v0xin (3):

x(t) =−v0x

γ

¡e^−γt−1¢

(4) Kleine Zeiten (t→0):

x(t) =−v0x

γ

¡e^−γt−1¢

=−v0x

γ [(1−γt+· · ·)−1] =v0xt z(t) =−gt

γ −1 γ

µg γ+v0

¶¡ e^−γt−1¢

=−gt γ −1

γ µg

γ+v0

¶

[(1−γt+· · ·)−1]

=−gt γ +t

µg γ+v0

¶

=vz0t

Große Zeiten (t→ ∞ ⇒ e^−γt≪1):

x(t) =−v0x

γ

¡e^−γt−1¢

≃v0x

γ = konst. (5)

z(t) =−gt γ −1

γ µg

γ+v0

¶¡ e^−γt−1¢

≃1 γ

µg γ+v0

¶

−gt

γ (6)

t

x z

t vx0t

vx0/γ vz0t

³g γ²+^v_γ⁰´

−^gt_γ

(c)

x(t) =−v0x

γ

¡e^−γt−1¢

⇒ e^−γt= 1−γx v0x

⇒ −γt= ln µ

1−γx v0x

¶

⇒ t=−1 γln

µ 1−γx

v0x

¶

und ¡ 1−e^−γt¢

=γx v0x

Einsetzen in (3):

z(x) = g γ²ln

µ 1−γx

v0x

¶ +

µg γ +vz0

¶ x vx0

(7) Kleinesγ(genauer gesagt bei Annahme von _v^γx0x ≪1; die Entwicklung gilt nicht, wenn xzu groß ist):

z(x) = g γ²

"

−γx v0x

−1 2

µ

−γx v0x

¶2

+1 3 µ

−γx v0x

¶3

+· · ·

# +

µg γ+vz0

¶ x vx0

=−gx² 2v0x²

−γgx³ 3v³0x

+vz0

vx0

x=xtanα− gx² 2v²0cos²α

| {z }

reibungsfreier Grenzfall

−γ gx³ 3v0³cos³α

| {z }

1. Korrektur

In der Anwesenheit von Reibung ist die Kugel immer niedriger als in ihrer Abwesenheit.

α= 0:

F¨ur kleinesxistz(x)≃ −gx² 2v²0

−γgx³ 3v³0

Aus (5), (6) folgenx→v0/γundz→ −∞(sieht man auch, wenn manx→v0/γin (7) einsetzt).

z

0 x

γ= 0 γ6= 0

x=v0/γ