Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt Nr. 3 zur Theorie A

Universit¨at Karlsruhe Wintersemester 2003/04 Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie 7.11.03 Prof. Dr. Ralph v. Baltz, Dr. Philip Howell http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/

Sprechstunde: Fr 13:00–14:00 Physikhochhaus 10.14 howell@tkm.physik.uni-karlsruhe.de

Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt Nr. 3 zur Theorie A

1 Differenzieren

a) f(z) : Quotientenregel benutzen:f=^u_v ⇒f^′=^vu′_v^−2uv′ f(z) = tanz=sinz

cosz ⇒f^′(z) =cosz·cosz−sinz· −sinz

cos²z = 1

cos²z = sec²z g(z) : Kettenregel benutzen: _dz^d g(y(z)) =y^′(z)g^′(y(z))

g(z) = arctanz ⇒ tang(z) =z

d dz

=⇒ g^′(z) sec²g(z) = 1

Nun sin²θ+ cos²θ= 1 ⇒ tan²θ+ 1 = sec²θ, also sec²g(z) = 1 + tan²g(z) = 1 +z²

⇒ g^′(z)(1 +z²) = 1 ⇒ g^′(z) = 1 1 +z²

Beweis der Identit¨at:zuersty= arctan¹_ξ mit der Kettenregel differenzieren:

Seix=1

ξ ⇒ y= arctanx ⇒ dy dξ =dy

dx dx dξ = 1

1 +x²·−1 ξ² = 1

1 +ξ⁻²·−1 ξ² =− 1

1 +ξ² Jetzt Gleichung (1) auf dem Aufgabenblatt differenzieren:

arctanξ=π

2−arctan1 ξ

d dξ

=⇒ 1

1 +ξ² = 0− µ

− 1 1 +ξ²

¶ √

Die rechte Gleichung ist eindeutig erf¨ullt, also wenn wir sie integrieren, bekommen wir arctanξ=−arctan1

ξ+c

wobei c die Integrationskonstante ist. Um c zu bestimmen, setze ξ = 1 ⇒ c = 2 arctan 1 =^π₂.

b) Wir benutzen_dx^d£ lnf(x)¤

=^f_f^′_(x)^(x)und die Kettenregel.

f(y, θ) = ln

·1 +θ y tan

µy²θ 2

¶¸

= ln(1 +θ)−lny+ ln

· tan

µy²θ 2

¶¸

∂f

∂θ = 1 1 +θ+

y² 2 sec²³

y²θ 2

´

tan³

y²θ 2

´ = 1

1 +θ+ y²

2 sin³

y²θ 2

´ cos³

y²θ 2

´= 1

1 +θ+ y² siny²θ

∂f

∂y =−1 y+

yθsec²³

y²θ 2

´

tan³

y²θ 2

´ =−1

y+ yθ

sin³

y²θ 2

´cos³

y²θ 2

´=−1 y+ 2yθ

siny²θ

Jetzt benutzen wir die Quotientenregel:

∂

∂y

∂f

∂θ=siny²θ·2y−y²·2yθcosy²θ

sin²(y²θ) =2y(1−y²θcoty²θ) siny²θ

∂

∂θ

∂f

∂y =siny²θ·2y−2yθ·y²cosy²θ

sin²(y²θ) =2y(1−y²θcoty²θ) siny²θ

Bei der gemischten Ableitung spielt die Reihenfolge der Ableitungen keine Rolle (außer bei pathologischen Funktionen).

2 “Swing-By”

a) Impulserhaltung inx- undy-Richtung:

mux+M Vx=mu^′_x+M V_x^′ (1) muy+M Vy=mu^′_y+M V_y^′ (2) Energieerhaltung:

1

2mu²+¹₂MV²=¹₂mu^′2+¹₂MV^′2 (3)

⇒ ¹2m(u²_x+u²_y) +¹₂M(V_x²+V_y²) =¹₂m(u^′2_x +u^′2_y) +¹₂M(V_x^′2+V_y^′2) (4) Aus der Geometrie folgtuy =−uxundu^′_y =u^′_x. Außerdem giltVy= 0. Einsetzen in (1) und (2) liefert:

V_x^′=Vx+m

M(ux−u^′_x) (5)

V_y^′=−m

M(ux+u^′_x) (6)

Einsetzen in (4):

mu²_x+¹₂M V_x²=mu^′_x²+¹₂M(V_x²+V_y²)

⇒ u²_x+ M

2mV_x²=u^′2_x+ M 2m

·³ Vx+m

M(ux−u^′_x)´2

+³m

M(ux+u^′_x)´2¸

⇒ u^′2_x³ 1 +m

M

´−Vxu^′_x+u²_x³m M −1´

+Vxux= 0 (7)

b) L¨osung von (7) mit Hilfe der Standardformel f¨ur eine quadratische Gleichung:

u^′_x= 1 1 +^m_M

"

Vx

2 ± rV_x²

4 −³ 1 +m

M

´ ³u²_x³m M −1´

+Vxux

´

#

=³ 1 +m

M

´−1



 Vx

2 ± s

µVx

2 −ux

¶2

−m

MVxux− m² M²u²_x





=³ 1 +m

M

´−1"

Vx

2 ± µVx

2 −ux

¶ s 1−m

M Vxux

¡_Vx

2 −ux

¢2−m² M²

u²_x

¡_Vx

2 −ux

¢2

#

Jetzt entwicklen zu linearer Ordnung in_M^m:

⇒ u^′_x=³ 1−m

M+· · ·´

"

Vx

2 ± µVx

2 −ux

¶Ã 1− m

2M Vxux

¡_Vx

2 −ux

¢2+· · ·

!#

=Vx

2 ± µVx

2 −ux

¶ +m

M

"

− µVx

2 ± µVx

2 −ux

¶¶

∓ Vxux

2¡Vx 2 −ux¢

# +· · ·

=















Vx−ux−m M

V_x²−2Vxux+ 2u²x

Vx−2ux

(obere Zeichen in der Wurzel)

ux+m M

2u²_x Vx−2ux

(obere Zeichen in der Wurzel) Im Limes_M^m→0 bedeutet die 2. L¨osung, dass die Raumsonde weiter nach links fliegt, dau^′_x=ux<0. Die 1. L¨osung ist die abgebildete: es giltVx>0, ux<0 ⇒ u^′_x>0 ⇒ die Raumsonde fliegt nach rechts. (Siehe Abbildung unten.)

Gewonnene kinetische Energie (zu f¨uhrender Ordnung):

∆KE KE =

1

2mu^′2−¹2mu²

1

2mu² =u^′2

u² −1 = u^′2_x+u^′2_y u²_x+u²_u −1

=2u^′_x²

2u²_x−1≃(Vx−ux)²

u²_x −1 =Vx(Vx−2ux) u²_x

Daux<0 ist die Energie¨anderung immer positiv ⇒ die Raumsonde fliegt schneller.

Bemerkung:

Das Gravitationsfeld des Planeten wirkt als “Streupotential” f¨ur ein Pro- beteilchen, die Raumsonde. Im Allge- meinen h¨angt die Streurichtung des Probeteilchens von der Form des Streu- potentials und von dem sogenannten Stoßparameterbab (Stichwort “Streu- querschnitt”). Hier haben wir explizit nur die L¨osungen mitu^′_x=u^′_y gesucht, also 1 und 2 in der Abbildung rechts.

Welche der beiden relevant ist, h¨angt vom Stoßparameter b und damit von den Anfangsbedingungen ab — f¨ur an- dere Werte vonb ist keine der beiden relevant.

b 1

b 2

V

V

3 Bahnkurve a)

r(t) = µx(t)

y(t)

¶

=

µ Re^αtsinωt Re^αtcosωt

¶

v(t) = µvx(t)

vy(t)

¶

= µ dx

dydt dt

¶

=

µ Re^αt(αsinωt+ωcosωt) Re^αt(αcosωt−ωsinωt)

¶

a(t) = µax(t)

ay(t)

¶

= Ã _d2

x dt² d²y dt²

!

=

µ Re^αt[(α²−ω²) sinωt+ 2αωcosωt]

Re^αt[−2αωsinωt+ (α²−ω²) cosωt]

¶

v(t) =q

v_x²(t) +v_y²(t) =Re^αtp

(αsinωt+ωcosωt)²+ (αcosωt−ωsinωt)²

=Re^αt q

(α²+ω²)(sin²ωt+ cos²ωt) =Re^αtp

(α²+ω²) a(t) =q

a²_x(t) +a²_y(t)

=Re^αtp

[(α²−ω²) sinωt+ 2αωcosωt]²+ [−2αωsinωt+ (α²−ω²) cosωt]²

=Re^αtq

(α²+ω²)²sin²ωt+ (α²+ω²)²cos²ωt=Re^αt(α²+ω²) b) Die gestrichelte Linie zeigt den Kreis mit RadiusR.

x

y y

x

α<0 α>0

s(t) = Z t

0 |v(t)|dt^′=R√ α²+ω²

Z t 0

dt^′e^αt′=R√

α²+ω²e^αt−1 α Im Limesα→0 entwicklen wir e^αt:

αlim→0s(t) = lim

α→0R√

α²+ω²(1 +αt+· · ·)−1

α =Rωt

In diesem Limes bewegt sich das Teilchen mit Winkelgeschwindigkeitωauf einem Kreis mit RadiusR, wobeis=Rωtder Standardausdruck f¨ur die Bogenl¨ange ist.

F¨urα <0 gilt limt→∞e^αt= 0, also

tlim→∞s(t) =R√ α²+ω²

µ−1 α

¶

=R√

α²+ω² 1

|α|.

Nach einer unendlichen Zeit ist die zur¨uckgelegte Strecke endlich, und das Teilchen befindet sich bei (x, y) = (0,0). (F¨urα >0 ist die zur¨uckgelegte Strecke unendlich im Limest→ ∞.)