Universit¨at Karlsruhe Wintersemester 2003/04 Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie 21.11.03 Prof. Dr. Ralph v. Baltz, Dr. Philip Howell http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/
Sprechstunde: Fr 13:00–14:00 Physikhochhaus 10.14 howell@tkm.physik.uni-karlsruhe.de
Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt Nr. 5 zur Theorie A
1 Potential eines Vektorfeldes
F1(r) =
µ F1x(r) F1y(r)
¶
= µ y
x
¶
⇒ ∂F1x
∂y = 1, ∂F1y
∂x = 1
⇒ es existiert ein PotentialV(r).
Weg von (0,0) zu (x′, y′) parameterisieren:r(t) = µtx′
ty′
¶
, t∈[0,1] ⇒ r˙(t) = µ x′
y′
¶
W= Z(x′,y′)
0
F1(r)·dr= Z1
0
µ y(t) x(t)
¶
·r˙(t) dt= Z1
0
µty′ tx′
¶
· µx′
y′
¶ dt=
Z 1 0
2tx′y′dt=x′y′ Das Potential hat das andere Vorzeichen als die geleistete Arbeit ⇒ V(r) =−xy Uberpr¨ufen:¨ −∇V =−
à ∂V
∂V∂x
∂y
!
= µ y
x
¶
=F1(r) √
F2(r) =
µF2x(r) F2y(r)
¶
= Ã −y
5+x2+y2 x 5+x2+y2
!
⇒ ∂F2x
∂y = ∂
∂y
µ −y 5 +x2+y2
¶
=(5 +x2+y2)·(−1)−(−y)·2y
(5 +x2+y2)2 = y2−x2−5 (5 +x2+y2)2 und ∂F2y
∂x = ∂
∂y
µ x
5 +x2+y2
¶
=(5 +x2+y2)·1−x·2x
(5 +x2+y2)2 = y2−x2+ 5 (5 +x2+y2)2
⇒ es existiert kein PotentialV(r).
2 Feldlinien
(a) Mit der Parameterisierung aus Aufgabe 1:
V(x′, y′) =− Z 1
0
µ 2tx′·ty′ (tx′)2−ty′
¶
· µ x′
y′
¶ dt=−
Z 1 0
(3t2x′2y′−ty′2) dt=−x′2y′+1 2y′2 Aquipotentiallinien:¨
V(x, y) =V0
2 ⇒ −x2y+1 2y2=V0
2 ⇒ y2−2x2y−V0= 0 ⇒ y=x2±p x4+V0
(b) Beachte:V(−x, y) =V(x, y) ⇒ es reicht, nurx >0 zu betrachten, da das Potential (und daher die Feldlinien) symmetrisch bez¨uglichx= 0 ist.
V0= 0 ⇒ y= 0 undy= 2x2
ymuss reell sein ⇒ x4+V0>0. FallsV0<0 heisst das,x4− |V0|>0 ⇒ x >|V0|1/4. F¨urx4≫ |V0|gilt:
y=x2±p
x4+V0=x2±x2 r
1 +V0
x4 =x2
· 1±
µ 1 + V0
2x4+· · ·
¶¸
⇒ y= 2x2+ V0
2x2 +· · · und y=−V0
2x2+· · · (1) F¨urV0=V−<0 bedeutet das, dass die ¨Aquipotentiallinien knapp unterhalb der Linie y= 2x2und knapp oberhalb der Liniey= 0 liegen, also zwischen den ¨Aquipotentialen mitV0= 0 (siehe linke Skizze unten).
(c) Extrema iny(x) =x2±p
x4+V+bestimmen:
dy
dx= 2x± 2x3 px4+V+
= 0 ⇒ 2x
px4+V+
³px4+V+±x2´
= 0 DaV+>0 giltp
x4+V+> x2, also ist die einzige L¨osungx= 0. Art der Extrema:
d2y dx2
¯
¯
¯
¯x=0
=
2±
px4+V+·6x2−2x3·√x2x4+V3 +
x4+V+
¯
¯
¯
¯
¯
¯x=0
= 2>0
⇒ Minima beix= 0, y=±√ V+.
Die Entwicklung (1) f¨ur|x| ≫ |V0|gilt weiterhin, also f¨urV0=V+>0 bedeutet das, dass die ¨Aquipotentiale knapp oberhalb der Linie y= 2x2 und knapp unterhalb der Liniey= 0 liegen (siehe linke Skizze unten).
x x
y y
|V−|1/4
√V+
−√ V+
V0>0
V0>0 V0<0
V0= 0 V0= 0
(d) Am ¨Aquipotential mitV0 = 0:y = 0 ⇒ F(x,0) = (0, x2) ⇒ Feldvektoren zeigen nach oben.
Am ¨Aquipotential mitV0= 0:y= 2x2 ⇒ F(x,2x2) = (4x3,−x2) =x2(4x,−1) ⇒ Feldvektoren zeigen unten nach rechts (fallsx >0) oder unten nach links (fallsx <0).
An der y-Achse: x = 0 ⇒ F(0, y) = (0,−y) ⇒ Feldvektoren zeigen auf den Ursprung.
Siehe rechte Skizze oben.
Bitte wenden f¨ur Feldlinien.
x y
