Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt Nr. 13 zur Theorie A

Universit¨at Karlsruhe Wintersemester 2003/04 Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie 30.1.04 Prof. Dr. Ralph v. Baltz, Dr. Philip Howell http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/

Sprechstunde: Fr 13:00–14:00 Physikhochhaus 10.14 howell@tkm.physik.uni-karlsruhe.de

Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt Nr. 13 zur Theorie A

1 Polarkoordinaten (a) Nach Definition

e_r= cosφe_x+ sinφe_y≡ µ cosφ

sinφ

¶

, e_φ=−sinφe_x+ cosφe_y≡

µ −sinφ cosφ

¶

⇒ e_r·e_φ= µcosφ

sinφ

¶

·

µ −sinφ cosφ

¶

=−cosφsinφ+ sinφcosφ= 0 und e_r·e_r=

µcosφ sinφ

¶

· µ cosφ

sinφ

¶

= cos²φ+ sin²φ= 1 und e_φ·e_φ=

µ−sinφ cosφ

¶

·

µ−sinφ cosφ

¶

= (−sinφ)²+ cos²φ= 1

Da die Position des Planeten sich als Funktion der Zeit ¨andert, istφin den Definitionen vone_runde_φzeitabh¨angig. Also schreibe _dt^d =^dφ_{dt dφ}^d = ˙φ_dφ^d .

d

dte_r= ˙φd dφ

µ cosφ sinφ

¶

= ˙φ

µ −sinφ cosφ

¶

= ˙φe_φ d

dte_φ= ˙φd dφ

µ −sinφ cosφ

¶

= ˙φ

µ −cosφ

−sinφ

¶

=−φ˙e_r Nunr=r(t)e_rund f¨ur die Bewegungsgleichung ben¨otigen wir ¨r:

r=r(t)e_r

˙

r=^dr_dte_r+r_dt^de_r= ˙re_r+rφ˙e_φ (1)

¨

r=_dt^dr˙=^{d ˙}_dt^re_r+ ˙r_dt^de_r+^dr_dtφ˙e_φ+r^{d ˙}_dt^φe_φ+rφ˙_dt^de_φ

= (¨r−rφ˙²)e_r+ (2 ˙rφ˙+rφ)¨e_φ

⇒ F=m¨r=m(¨r−rφ˙²)e_r+m(2 ˙rφ˙+rφ)¨e_φ (2) (b) Erhaltung vonL=mr²φ˙:

dL dt = d

dt(mr²φ) = 2mr˙ r˙φ˙+mr²φ¨=mr(2 ˙rφ˙+rφ)¨ Nun (2) in Komponenten schreiben, mitF=−GM m

r² e_r:

−GM m

r² e_r=m(¨r−rφ˙²)e_r+m(2 ˙rφ˙+rφ)¨e_φ

⇒ r¨−rφ˙²=−GM

r² und 2 ˙rφ˙+rφ¨= 0 (3)

Aus der rechten Gleichung (e_φ-Komponente) folgt dL

dt = 0 ⇒ L = Konstante und deswegen ist es n¨utzlich ˙φdurch L

mr² zu ersetzen.

Gesamtenergie mit Hilfe von (1):

E=1

2mr˙²+V(r) =1

2m( ˙re_r+rφ˙e_φ)·( ˙re_r+rφ˙e_φ)−GM m r

=1

2m( ˙r²+r²φ˙²)−GM m r

=1

2mr˙²+ L²

2mr² −GM m

| {z r }

Veff(r)

(4)

Die Energie des Planeten ist die eines Teilchens, dass sich im eindimensionalen Potential Veff(r) bewegt.

Der erste Term in Veff(r) dominiert f¨ur r → 0 und der zweite Term dominiert f¨ur r→ ∞. Es gibt ein Minimum beir0=_{GM m}^L22 mitV(r0) =−^G

2M²m³ L² <0 .

r

r

V(r)

0

E>0

E<0

Interpretation des ersten Terms:

Ableiten liefert die zugeh¨orige Kraft, F_zent(r) = −dr^d

¡ _L²

2mr²

¢e_r = _mr^L23e_r =mrφ˙²e_r, die man als Zentrifugalkraft erkennt ⇒ Der erste Term ist die (drehimpulsabh¨angige) Potentialbarriere, die der Wirkung der Zentrifugalkraft entspricht. Je gr¨oßer istL, desto h¨oher ist die Barriere und desto ung¨unstiger ist es, dem Ursprung nahe zu kommen ⇒ die Zentrifugalkraft treibt den Planeten weg vom Ursprung.

Ein Planet mit GesamtenergieE <0 befindet sich in der Mulde und kann nur zwischen rminundrmaxschwanken, konsistent mit einer Ellipse — aus Blatt 12, Aufgabe 3(b) ist E <0 die Bedingung f¨ur eine Ellipsenbahn.

Ein Planet mit GesamtenergieE >0 hat nur eine untere Schrankerminaber kann sich nachr→ ∞bewegen, konsistent mit einer Hyperbel.

Merke:Differenziere (4) nachtmit der Kettenregel:

dE dt = d

dt µ1

2mr˙²+ L²

2mr²−GM m r

¶

=mr¨˙r− L²r˙

mr³+GM mr˙ r²

=mr¨˙r−mrφ˙²r˙+GM mr˙ r² =mr˙

µ

¨

r−rφ˙²+GM r²

¶

Wegen dere_r-Komponente von (3) verschwindet die letzte Klammer, alsodE dt = 0

⇒ Eist ein Integral der Bewegung.

2 Ellipsenfl¨ache

(a) A=

Z dA=

Z 2π 0

1 2r²dφ=

Z 2π 0

p²

2(1 +ǫcosφ)²dφ=p² Zπ

0

1 (1 +ǫcosφ)²dφ wo im letzten Schritt die Spiegelsymmetrie bez¨uglich derx-Achse benutzt wurde.

Substituieret= tan¹₂φ. Wir wissen (z. B. aus Blatt 3, Aufgabe 1), dass _dx^d(tanx) = sec²x= 1 + tan²x, also

t= tanφ 2 ⇒ dt

dφ=1 2sec²φ

2 =1 2

µ

1 + tan²φ 2

¶

=1

2(1 +t²) ⇒ dφ= 2dt 1 +t² Limites: φ= 0 ⇒ t= 0 undφ=π ⇒ t= tan^π₂=∞.

Wir ben¨otigen auch

sec²φ= 1 + tan²φ= 1 +

à 2 tan^φ₂ 1−tan^2φ₂

!2

= 1 + µ 2t

1−t²

¶2

=(1−t²)²+ 4t² (1−t²)² =

µ1 +t² 1−t²

¶2

⇒ cosφ= 1

secφ=1−t² 1 +t² Einsetzen:

A=p² Z π

0

1

(1 +ǫcosφ)²dφ=p² Z ∞

0

1

¡1 +ǫ¹_1+t^−t22

¢2

2dt 1 +t²

=p² Z ∞

0

(1 +t²)² (1 +t²+ǫ(1−t²))²

2dt 1 +t² = 2p²

Z∞ 0

1 +t²

(1 +ǫ+ (1−ǫ)t²)² dt

= 2p² (1 +ǫ)²

Z∞ 0

1 +t²

¡1 +^1−ǫ_1+ǫt²¢2dt

(b) Substituiere tanu= r1−ǫ

1 +ǫt. Differenzieren bez¨uglichtliefert tanu=

r1−ǫ 1 +ǫt ⇒ du

dt sec²u= r1−ǫ

1 +ǫ ⇒ dt= r1 +ǫ

1−ǫsec²udu Limites: t= 0 ⇒ u= 0 undt=∞ ⇒ u=^π₂.

⇒ A= 2p² (1 +ǫ)²

Z ^∞

0

1 +t²

¡1 +^1−ǫ_1+ǫt²¢2dt

= 2p² (1 +ǫ)²

Z π/2 0

1 +^1+ǫ₁−ǫtan²u (1 + tan²u)²

r1 +ǫ 1−ǫsec²udu

= 2p² (1 +ǫ)²

r1 +ǫ 1−ǫ

Z π/2 0

1 +^1+ǫ_1−ǫtan²u sec⁴u sec²udu

= 2p²

(1 +ǫ)p

(1 +ǫ)(1−ǫ) Z π/2

0

µ

cos²u+1 +ǫ 1−ǫsin²u

¶ du

Aus Blatt 9, Aufgabe 1 gilt cos 2u= 2 cos²u−1 = 1−2 sin²u. Einsetzen:

= 2p²

(1 +ǫ)√ 1−ǫ²

Zπ/2 0

µ1 + cos 2u 2 +1 +ǫ

1−ǫ

1−cos 2u 2

¶ du

= p²

(1 +ǫ)(1−ǫ)√ 1−ǫ²

Z π/2 0

£(1−ǫ)(1 + cos 2u) + (1 +ǫ)(1−cos 2u)¤ du

= p²

(1−ǫ²)^3/2 Zπ/2

0

(2−2ǫcos 2u) du

= πp² (1−ǫ²)^3/2 Ausdr¨ucken durcha= p

1−ǫ² undb= p

√1−ǫ² liefert A=πab

3* Harmonischer Oszillator durch Integral der Bewegung

E=1 2m

µdx dt

¶2

+1

2mω²x² ⇒ dx dt =

r2E m −ω²x²

⇒ dx q2E

m −ω²x²

= dt ⇒

Z dx q2E

m −ω²x²

= Z

dt

Substituierex=csinθ ⇒ dx=ccosθdθ: Z ccosθdθ

q2E

m −ω²c²sin²θ

= Z

dt ⇒

Z ccosθdθ ωc

q 2E

mω²c²−sin²θ

= Z

dt

W¨ahle also 2E

mω²c²= 1 ⇒ c= r2E

mω² : Z cosθdθ

ωp

1−sin²θ= Z

dt ⇒ θ ω+A=t mitA= Konstante. R¨ucksubstitution:

x=csinθ= r2E

mω²sin(ωt−Aω)

⇒ harmonische Oszillationen mit PhasenverschiebungAω.

Die Amplitudeaist der Vorfaktor:

a= r2E

mω² ⇒ E=1 2mω²a²

Dieses Ergebnis kann man auch aus dem Ausdruck f¨ur die Energie ablesen: wenn die ma- ximale Auslenkung erreicht ist, kehrt der K¨orper zur¨uck, also ¨andert das Vorzeichen der Geschwindigkeit ⇒ ^dxdt = 0 . Es folgtE=¹₂m0²+¹₂mω²x²¯

¯x=a=¹₂mω²a²