Universit¨at Karlsruhe Wintersemester 2003/04 Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie 16.1.04 Prof. Dr. Ralph v. Baltz, Dr. Philip Howell http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/
Sprechstunde: Fr 13:00–14:00 Physikhochhaus 10.14 howell@tkm.physik.uni-karlsruhe.de
Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt Nr. 12 zur Theorie A
1 Planetenbahnen
Kreisbahn mit RadiusR, Umlaufszeit T, Kreisfrequenz ˙φ ≡ω = 2π/T, Geschwindigkeit v= 2πR/T=Rω.
Ein Planet der MasseMunter Einfluss der Sonne, MasseM⊙, folgt dem dritten Keplerschen Gesetz (siehe Vorlesung):GM⊙
¡T 2π
¢2
=R3. T= 2πp
R3/(GM⊙)
Lz= (r×p)z=M R2φ˙=M R2ω= 2πM R2/T =Mp GM⊙R Ekin=12M v2=12M(2πR/T)2=12GM⊙M/R
Epot=V(R) =−GM⊙M/R Egesamt=Ekin+Epot=−12GM⊙M/R Zum Vergleich mitEErdeundLErdeben¨otigen wir
EPlanet
EErde
=
1
2GM⊙MPlanet/RPlanet 1
2GM⊙MErde/RErde
=MPlanetRErde
RPlanetMErde
LPlanet
LErde
=MPlanet
√GM⊙RPlanet
MErde√
GM⊙RErde
=MPlanet
MErde
rRPlanet
RErde
Mit den Daten aus der Vorlesung folgt:
Planet LPlanet/LErde EPlanet/EErde
Venus 0.68 1.11
Mars 0.12 0.066
Jupiter 725 61
Neptun 76 0.84
2 Erhaltung des Drehimpulses
(a) Vektoren in Komponenten ausschreiben:
a(t) =¡
ax(t), ay(t), az(t)¢
, b(t) =¡
bx(t), by(t), bz(t)¢
⇒ d
dta·b= d
dt(axbx+ayby+azbz) = ˙axbx+axb˙x+ ˙ayby+ayb˙y+ ˙azbz+az˙bz
= ˙a·b+a·b˙
und d
dta×b= d dt
ex ey ez ax ay az
bx by bz
= d dt
£(aybz−azby)ex−(axbz−azbx)ey+ (axby−aybx)ez¤
= ( ˙aybz+ayb˙z−a˙zby−azb˙y)ex−( ˙axbz+axb˙z−a˙zbx−azb˙x)ey
+ ( ˙axby+axb˙y−a˙ybx−ayb˙x)ez
= ( ˙aybz−a˙zby)ex−( ˙axbz−a˙zbx)ey+ ( ˙axby−a˙ybx)ez
+ (ayb˙z−azb˙y)ex−(axb˙z−azb˙x)ey+ (axb˙y−ayb˙x)ez
= ˙a×b+a×b˙
⇒ Die Produktregel gilt f¨ur Vektoren genau so wie f¨ur Skalarfunktionen:
d
dt(a·b) =da
dt ·b+a·db dt, d
dt(a×b) =da
dt ×b+a×db dt (b) DrehimpulsL=r×p. Zeitliche Ableitung:
L˙ = ˙r×p+r×p˙
Nun per Definition p=mr˙ und die Bewegungsgleichung im Zentralfeld lautet ˙p= F(r) =f(r)rr. Einsetzen:
L˙ = 1
mp×p+1
rf(r)r×r= 0
da das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst verschwindet. Damit ist der Dre- himpuls zeitlich konstant, d.h. er ist erhalten.
3 Ellipsenbahn
(a) Die zu l¨osenden Gleichungen sind
¨
x=− GM x
(x2+y2)3/2 , y¨=− GM y
(x2+y2)3/2 (1)
Ans¨atze:
x(φ) =a(cosφ−ǫ), y(φ) =bsinφ , t(φ) =τ(φ−ǫsinφ), ǫ2= 1−b2 a2 (2) Ableitungen mit Hilfe der Kettenregel ausrechnen, d
dt =dφ dt
d dφ: dφ
dt = µdt
dφ
¶−1
=¡
τ(1−ǫcosφ)¢−1
= 1
τ(1−ǫcosφ) dx
dt =dφ dt
dx
dφ= −asinφ
τ(1−ǫcosφ) (3)
d2x dt2 = d
dt µdx
dt
¶
=dφ dt
d dφ
µdx dt
¶
= 1
τ(1−ǫcosφ)· d dφ
µ
− asinφ τ(1−ǫcosφ)
¶
=− a
τ2(1−ǫcosφ)
(1−ǫcosφ)·cosφ−sinφ·ǫsinφ
(1−ǫcosφ)2 =− a(cosφ−ǫ) τ2(1−ǫcosφ)3
=− x
τ2(1−ǫcosφ)3 (4)
dy dt =dφ
dt dy
dφ= bcosφ
τ(1−ǫcosφ) (5)
Aus der Definition (1) vonǫfolgtb2=a2(1−ǫ2) und damit
x2+y2=a2(cosφ−ǫ)2+b2sin2φ=a2(cos2φ−2ǫcosφ+ǫ2) +a2(1−ǫ2) sin2φ
=a2(1−2ǫcosφ+ǫ2cos2φ) =a2(1−ǫcosφ)2 (6) Einsetzen in die DGL
¨
x=− GM x
(x2+y2)3/2 ⇒ − x
τ2(1−ǫcosφ)3 =− GM x [a2(1−ǫcosφ)2]3/2
⇒ GM τ2=a3 (7)
Derr Ansatz liefert nur dann eine L¨osung der DGL, wenn die Parameteraundτ die Bedingung (7), d.h. das Keplersche Gesetz, erf¨ullen.
(Einsetzen in die DGL f¨ur ¨yliefert das gleiche Ergebnis.) (b) Mit (3), (5) ist der Drehimpuls gegeben durch
L=m(xy˙−yx) =˙ m
·
a(cosφ−ǫ) bcosφ
τ(1−ǫcosφ)+bsinφ asinφ τ(1−ǫcosφ)
¸
= mab
τ(1−ǫcosφ)(cos2φ−ǫcosφ+ sin2φ) =mab
τ =ma2√ 1−ǫ2 pa3/(GM)
⇒ L=mp
GM a(1−ǫ2) Die Gesamtenergie ist
Egesamt=Ekin+Epot=1
2mv2−GM m/r Mit (3), (5) und dem Keplerschen Gesetz (7) ergibt sich
v2= ˙x2+ ˙y2=a2sin2φ+b2cos2φ τ2(1−ǫcosφ)2
=a2sin2φ+a2(1−ǫ2) cos2φ
τ2(1−ǫcosφ)2 =a2(1−ǫ2cos2φ) τ2(1−ǫcosφ)2
=GM(1 +ǫcosφ) a(1−ǫcosφ) Aus (6) folgtr=p
x2+y2=a(1−ǫcosφ) und damit Egesamt=1
2mv2−GM m/r
=GM m(1 +ǫcosφ)
2a(1−ǫcosφ) − GM m a(1−ǫcosφ)
= GM m
2a(1−ǫcosφ)(1 +ǫcosφ−2)
⇒ Egesamt=−GM m 2a
Merke:F¨ur einen Kreis (ǫ= 0) entsprichtadem Radius, und wir finden wieder die Formel aus 1(a).
Daφein Winkel ist, entsprechenφ= 0 undφ= 2πdem selben Punkt. Die Umlaufszeit ist die Zeit, die verstreicht w¨ahrend sich der Planet vonφ= 0 nachφ= 2πbewegt:
T=t(2π)−t(0) =τ(φ−ǫsinφ)¯
¯φ=2π−τ(φ−ǫsinφ)¯
¯φ=0= 2πτ
(c)*Die Bewegungsgleichungen sind die gleichen wie f¨ur eine Ellipsenbahn, n¨amlich (1);
wir suchen nun einen neuen Ansatz, der zu einer Hyperbelbahn f¨uhrt. Aus Blatt 11, Aufgabe 1(d) sieht man, dass der Einheitskreis und die Einheitshyperbel durch eine komplexe Transformation verwandt sind, also versuchen wir hier dasselbe. Definiere
x′=x , y′= iy , φ′= iφ Aus derselben Aufgabe wissen wir auch
cos iφ′= coshφ′, sin iφ′= i sinhφ′ Einsetzen in (2):
x(φ) =a(cosφ−ǫ) ⇒ x′=a(cos(−iφ′)−ǫ) ⇒ x′=a(coshφ′−ǫ) (8) y(φ) =bsinφ ⇒ −iy′=bsin(−iφ′) ⇒ y′=bsinhφ′ (9)
t(φ) =τ(φ−ǫsinφ) ⇒ t=τ(−iφ′−ǫsin(−iφ′)) ⇒t= iτ(ǫsinhφ′−φ′) Damitt(φ′) einer reellen Zeit entspricht, muss der Parameterτ imagin¨ar sein, also de- finiereτ=−iξ, ξ∈R ⇒ t=ξ(ǫsinhφ′−φ′) (10) Der Vollst¨andigkeit halber zeigen wir, dass dieser Ansatz tats¨achlich die Bewegungs- gleichung erf¨ullt.
Differenzieren mit der Kettenregel, d dt=dφ′
dt d
dφ′, wie vorher liefert dx′
dt = Asinhφ′
ξ(ǫcoshφ′−1), d2x′
dt2 =− x′ ξ2(ǫcoshφ′−1)3 Wir ben¨otigen auch
x′2+y′2=a2(coshφ′−ǫ)2+b2sinh2φ′=a2(cosh2φ′−2ǫcoshφ′+ǫ2) +b2(cosh2φ′−1)
=a2h cosh2φ′¡
1 +ba22
¢−2ǫcoshφ′+ǫ2−ba22
i
=a2h
ǫ2cosh2φ′−2ǫcoshφ′+ 1 + cosh2φ′¡
1 +ba22−ǫ2¢
−¡
1 +ab22−ǫ2¢i
=a2(ǫcoshφ′−1)2+a2(cosh2φ′−1)¡
1 +ab22−ǫ2¢ Einsezen in die DGL, ¨x′=− GM x′
(x′2+y′2)3/2, liefert
− x′
ξ2[(ǫcoshφ′−1)2]3/2=− GM x′
£a2(ǫcoshφ′−1)2+a2(cosh2φ′−1)¡
1 +ba22−ǫ2¢ ¤3/2
Wenn wirǫ2= 1+ba22forden, verschwindet der zweite Term im Nenner und damit ist die DGL f¨ur allex′, φ′erf¨ullt. (F¨ur eine Ellipse hat manǫ2= 1−ba22, siehe (2).) Also l¨osen die Ans¨atze (8)–(10) die DGL, solangea3=GM ξ2. Das letzte ist aber kein Keplersches Gesetz, da die Bewegung nicht periodisch ist undξ deswegen mit keiner Umlaufszeit verwandt ist.
