Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt 6

(1)

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Grundlagen der Theoretischen Informatik SS 2020

Musterl¨ osung zu ¨ Ubungsblatt 6

Aufgabe 1.

Zeigen Sie, dass die folgenden Sprachen nicht regul¨ ar sind:

(a) L

₁

= {a

ⁿ

b

^m

| n < m}

(b) L

₂

= {a

ⁿ

b

^m

| |n − m | ≤ 2}

L¨ osung zu Aufgabe 1.

(a) L

₁

= {a

ⁿ

b

^m

| n < m} ist nicht regul¨ ar Pumping Lemma

W¨ ahle x = a

ⁿ

b

ⁿ⁺¹

, |x | = 2n + 1 ≥ n.

Betrachte alle Zerlegungen x = uvw mit |v | ≥ 1 und |uv | ≤ n:

Wir haben u = a

^k

, v = a

^l

, w = a

^m

b

ⁿ⁺¹

(k + l + m = n ).

Wir w¨ ahlen den Pumpfaktor i = 2 und betrachten uv

ⁱ

w:

uv

²

w = a

^k

a

^2l

a

^m

b

ⁿ⁺¹

= a

^n+l

b

ⁿ⁺¹

.

Da n + l ≥ n + 1 (wegen |v | ≥ 1) gilt uv

²

w ∈ / L

₁

. Folglich ist die Sprache L

₁

nicht regul¨ ar.

Zus¨ atzliche ¨ Ubung: Zeigen Sie mit Hilfe der Myhill-Nerode ¨ Aquivalenz, dass L

1

nicht regul¨ ar ist (siehe Musterl¨ osung ¨ Ubungsblatt 5).

(b) L

₂

= {a

ⁿ

b

^m

| |n − m | ≤ 2} ist nicht regul¨ ar Pumping Lemma

W¨ ahle x = a

ⁿ⁺²

b

ⁿ

, |x | = 2n + 2 ≥ n.

Betrachte alle Zerlegungen x = uvw mit |v | ≥ 1 und |uv | ≤ n:

Wir haben u = a

^k

, v = a

^l

, w = a

^m

b

ⁿ

(k + l + m = n + 2).

Wir w¨ ahlen den Pumpfaktor i = 2 und betrachten uv

ⁱ

w:

1

(2)

uv

²

w = a

^k

a

^2l

a

^m

b

ⁿ

= a

^n+2+l

b

ⁿ

.

Da |(n + 2 + l ) − n| = |2 + l | ≥ 3 (wegen |v | ≥ 1), gilt uv

²

w ∈ / L

₂

. Folglich ist L

₂

nicht regul¨ ar.

Zus¨ atzliche ¨ Ubung: Zeigen Sie mit Hilfe der Myhill-Nerode ¨ Aquivalenz, dass L

₂

nicht regul¨ ar ist (siehe Musterl¨ osung ¨ Ubungsblatt 5).

Aufgabe 2. Sei L = {ab

ⁿ

| n ≥ 1}.

(a) Geben Sie den Minimalautomaten (bis auf Umbenennung der Zust¨ ande) an.

(b) Beweisen Sie, dass Ihr Minimalautomat wirklich minimal ist, indem Sie zeigen, dass der Index der Relation R

_L

gleich der Anzahl der Zust¨ ande Ihres Automaten ist.

(c) Begr¨ unden Sie kurz, dass ein NFA, der L akzeptiert, mindestens drei Zust¨ ande braucht.

(d) Geben Sie zwei verschiedene NFA (nicht durch Umbenennung der Zust¨ ande) mit drei Zust¨ anden an, die L akzeptieren.

L¨ osung zu Aufgabe 2. (a)

M : 1 2 3

X a

b

b a

a, b, c

(b) Die Myhill-Nerode ¨ Aquivalenzklassen sind:

• [ε] = {ε} (Zustand 1)

• [a] = {a} (Zustand 2)

• [ab] = L = {ab

ⁿ

| n ≥ 1} (Zustand 3)

• [b] = {w | w ∈ / L, w 6= a, w 6= ε} (Zustand X)

Die Klassen sind unterschiedlich, da man sie jeweils trennen kann:

(3)

• ¬(a R

_L

ab): a · ε = a ∈ / L, w¨ ahrend ab · ε = ab ∈ L

• ¬(a R

_L

b): a · b = ab ∈ L, w¨ ahrend b · b = bb ∈ / L

• ¬(ab R

_L

b): ab · ε = ab ∈ L, w¨ ahrend b · ε = b ∈ / L Es gilt index(R

_L

) = 4 = Anzahl der Zust¨ ande.

Damit ist der Automat aus Aufgabenteil (a) minimal.

(c)

M

₁

: 1 a 2 b 3

b

Die drei Zust¨ ande werden ben¨ otigt, da die W¨ orter ε, a und ab in un- terschiedliche Zust¨ anden f¨ uhren m¨ ussen. Genauer gesagt: Es muss einen nicht-akzeptierenden Startzustand geben (wird durch das Lesen von ε erreicht), so dass man von dort mit ab in einen Endzustand gelangt.

Dieser Zustand darf aber nicht durch das Lesen von a oder ab erreicht werden, da ansonsten f¨ alschlicherweise aab bzw. abab akzeptiert w¨ urde.

Außerdem muss es einen weiteren nicht-akzeptierenden Zustand geben, den man durch das Lesen von a erreicht. Dass dieser nicht der eben erw¨ ahnte Startzustand sein kann wurde bereits argumentiert. Abschlie- ßend muss es auch noch einen Endzustand geben, der z.B. durch das Lesen von ab erreicht wird.

(d) Verschiedene NFAs f¨ ur L:

M

₁

: 1 a 2 b 3

b

M

2

: 1 a 2 b 3

b

M

₃

: 1 a 2 b 3

b

(4)

Aufgabe 3. Sei Σ = {a , b}. Gegeben ist der DFA M = (Z , Σ, δ, 1, E ) mit Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, E = {7} und

δ a b

1 2 4

2 7 4

3 5 3

4 5 4

5 7 1

6 7 3

7 7 7

(a) Zeichnen Sie M .

(b) Verwenden Sie den “Algorithmus Minimalautomat”, um den Minimal- automaten f¨ ur die Sprache L(M ) zu erhalten.

(c) Zeichnen Sie den in (b) erhaltenen Automaten.

L¨ osung zu Aufgabe 3. (a)

M : 1

5

4

2

3

6 7 a

b

a b

a b a b

a b

a, b

(b) Die Zust¨ ande 3 und 6 sind vom Startzustand aus nicht erreichbar und k¨ onnen gestrichen werden.

5 a a

b

(5)

Nun wenden wir den den

” Algorithmus Minimalautomat“ von Folie 131 des Skripts an.

Anmerkung: Wir arbeiten mit Mengen von zwei Zust¨ anden, nicht mit Tupeln, es gilt also {x , y} = {y, x }.

Schritt 1

Bilden aller Zustandspaare {z , z

⁰

} mit z 6= z

⁰

. 2

4 5 7

1 2 4 5 Schritt 2

Markiere alle Paare {z , z

⁰

} mit z ∈ E und z

⁰

∈ / E . 2

4 5

7 1 1 1 1

1 2 4 5 Schritt 3

F¨ ur jedes noch unmarkierte Paar {z , z

⁰

} und jedes s ∈ Σ teste, ob {δ(z , s ), δ(z

⁰

, s )} bereits markiert ist. Falls ja, markiere auch {z , z

⁰

}.

Neue Markierungen:

• {1, 2}, da {δ(1, a), δ(2, a )} = {2, 7} bereits markiert

• {1, 5}, da {δ(1, a), δ(5, a )} = {2, 7} bereits markiert

• {2, 4}, da {δ(1, a), δ(4, a )} = {7, 5} bereits markiert

• {4, 5}, da {δ(4, a), δ(5, a )} = {5, 7} bereits markiert 2 2

4 2

5 2 2

7 1 1 1 1

1 2 4 5

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