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Aufgabe 1. Formuliere den LLL-Algorithmus zu gegebener Gram-Matrix B

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Academic year: 2021

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Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2005/06

Gitter und Kryptographie Blatt 10, 13.01.2006, Abgabe 20.01.2006

Aufgabe 1. Formuliere den LLL-Algorithmus zu gegebener Gram-Matrix B

t

B ∈ Z

n×n

EINGABE B

t

B ∈ Z

n×n

, 1/4 ≤ δ < 1

AUSGABE T ∈ GL

n

(Z) , so dass BT LLL-reduziert ist.

Alle arithmetischen Schritte insbesondere die zur Berechnung der µ

k,j

, k b ˆ

k

k

2

sollen auf Z operieren.

Aufgabe 2. LLL-reduziere R

8

= GNF(Λ

8

) ∈ R

8×8

und bestimme R ¯

t8

R ¯

8

für das LLL-reduzierte R ¯

8

.

Sei R

2

= √

2 1/ √ 2

0 p

3/2

, V =

1/ √

2 0

+1/ √ 6 p

2/3

R

4

=

"

R

2

V O

q

2 3

R

2

# , A =

"

O O

q

3 2

V O

#

, R ¯

4

=

"

1

√2

R

2

√ 2V O

√1

3

R

2

#

R

8

=

R

4

A O R ¯

4

, R

12

=

R

4

A A O R ¯

4

O O O R ¯

4

 .

Aufgabe 3. Zeige für die obere linke Untermatrix R

n

⊂ R

12

für n = 9, . . . , 12 : (det R

n

)

2

2

n

= λ

n

für die λ

n

in table 6.1 von [CoSL88].

Aufgabe 4. Zeige λ

21

(L(R

12

)) = 2 . Hinweis: Für die Spalten y 6= 0 von

A O

gilt ky − L(R

8

)k = 1 . Ferner gilt

R

tn

R

n

∈

12

Z

n×n

. Schliesse daraus λ

21

(L(R

9

)) = λ

21

(L(R

10

)) = 2 wie in Aufga-

be 1, Blatt 9. Folgere λ

21

(L(R

10

)) = λ

21

(L(R

11

)) = 2, weil die Zeilen/Spalten

11, 12 von R

t12

R

12

ganzzahlig sind.

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