Der Algorithmus von Gauss-Jordan Pr¨ufungsvorbereitung Aufgabe Stelle das Gleichungssystem als Matrix dar und l¨ose es mit dem Gauss-Jordan-Algorithmus. 2x

Der Algorithmus von Gauss-Jordan Pr¨ufungsvorbereitung Aufgabe

Stelle das Gleichungssystem als Matrix dar und l¨ose es mit dem Gauss-Jordan-Algorithmus.

2x₃+ 4x₄ = 2 x₁+ 2x₂−x₃+x₄ = 0 10x₂−30x₃ + 10x₄ = 20 2x₁+ 4x₂−3x₃+x₄ = 2 L¨osung

0 0 2 4 2

1 2 −1 1 0

0 10 −30 10 20

2 4 −3 1 2

Vertausche in der Koeffizientenmatrix die Zeilen 1 und 2, damit ein geeignetes Pivot-Element (1) oben links steht.

1 2 −1 1 0

0 0 2 4 2

0 10 −30 10 20

2 4 −3 1 2

·(−2)

+

Addiere, sofern n¨otig, geeignete Vielfache der Pivot- Zeile zu den darunter liegenden Zeilen, bis alle Zahlen unter dem Pivot-Element null sind.

1 2 −1 1 0

0 0 2 4 2

0 10 −30 10 20

0 0 −1 −1 2

Vertausche die Zeilen 2 und 3, damit ein geeigneter Pivot-Kandidat (10) in der zweiten Zeile steht.

1 2 −1 1 0

0 10 −30 10 20

0 0 2 4 2

0 0 −1 −1 2

·₁₀¹

Multipliziere die 2. Zeile mit ₁₀¹, damit an der Pivot- Position eine 1 steht.

1 2 −1 1 0 0 1 −3 1 2

0 0 2 4 2

0 0 −1 −1 2

Vertausche die Zeilen 3 und 4, damit ein geeigneter Pivot-Kandidat (−1) in der 3. Zeile steht. (Man h¨atte auch die 3. Zeile mit ¹₂ multiplizieren und damit weiter unten einen Schritt sparen k¨onnen.) 1 2 −1 1 0

0 1 −3 1 2 0 0 −1 −1 2

0 0 2 4 2

·(−1)

Multipliziere die dritte Zeile mit −1, damit an der Pivot-Position eine 1 steht.

1 2 −1 1 0 0 1 −3 1 2 0 0 1 1 −2 0 0 2 4 2

·(−2) +

Sorge daf¨ur, dass unter dem Pivot-Element in der 3. Zeile eine Null steht.

1

1 2 −1 1 0 0 1 −3 1 2 0 0 1 1 −2 0 0 0 2 6 ^·12

Mache das letzte Pivot-Element zu 1. Damit ist die Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform (row eche- lon form) und der Gauss-Teil ist fertig. Es folgen nun die Jordan-Schritte.

1 2 −1 1 0 0 1 −3 1 2 0 0 1 1 −2

0 0 0 1 3 ^·(−1)

+

·(−1) +

·(−1)

+ Sorge daf¨ur, dass alle Zahlen ¨uber dem Pivot- Element in der 4. Zeile null sind.

1 2 −1 0 −3 0 1 −3 0 −1 0 0 1 0 −5 0 0 0 1 3

·3 +

·1

+ Sorge daf¨ur, dass alle Zahlen ¨uber dem Pivot-Element in der 3. Zeile null sind.

1 2 0 0 −8 0 1 0 0 −16 0 0 1 0 −5 0 0 0 1 3

·(−2)

+ Sorge daf¨ur, dass alle Zahlen ¨uber dem Pivot-Element in der 2. Zeile null sind.

1 0 0 0 24 0 1 0 0 −16 0 0 1 0 −5 0 0 0 1 3

Die Koeffizientenmatrix befindet sich jetzt in reduzier- ter Zeilen-Stufen-Form (reduced row echelon form), aus der die L¨osungen abgelesen werden k¨onnen.

x₁ = 24 x₂ =−16 x3 =−5 x₃ = 3

2