Zeige: Die allgemeine Gauss-Reduktion erhält die Äquivalenz

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2007/08 Gitter und Kryptographie

Blatt 4, 09.11.2007, Abgabe 16.11.2007

Aufgabe 1. Zwei Basenb₁,b₂ und b⁰₁,b⁰₂ heiÿen äquivalent, wenn entweder b1 =±b⁰₁,b2=±b⁰₂ oder b1 =±b⁰₂,b2 =±b⁰₁.

Zeige: Die allgemeine Gauss-Reduktion erhält die Äquivalenz.

Hinweis: Behandele erstk k₂, dann beliebigek k. Betrachte den Fall dass der Reduktionskoezientµnicht eindeutig ist.

Aufgabe 2. (Worst Case Gitterbasis zur Gauss-Reduktionk k=k k₂) Seib₁,b₂ ∈Rⁿeine reduzierte Basis und(b_k,b_k+1) := (b₁,b₂) 0 1

1 2 k−1

. Zeige fürk= 2,3, . . . :

1. d^hb_hb^k+1,bki

k,bki c= 2, kb_kk ≤ kb_k+1k.

2. Die Basisbk,bk+1 ist wohlgeordnet, und wird in einer Runde der Gauss-Reduktion in bk−1,b_k transformiert.

Hinweis : Satz 3.2.1 im Skript beweist, dass(bk,bk+1), minimalek-te Vor- ängerbasis zub₁,b₂ ist.

Aufgabe 3. Seip Primzahl mit p= 1 mod 4, i²=−1 mod p und L_p ={(a, b)^t∈Z² : a−ib= 0 mod p}. Zeige:

1. detL_p =p,

2. Für den kürzesten Vektor(a₀, b₀)^t∈ L_p\{0}gilt: p=a²₀+b²₀, 3. Löse 269 =a²₀+a²₁ mit a0, a1 ∈Nmittels Gauss-Redukton.

Hinweis: Für (a, b)^t∈ L_p gilta²+b² = 0 modp.λ²₁≤ q4

3detL_p.

Aufgabe 4. SeienL⁰ ⊂ LGitter. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:

1. span(L⁰)∩ L=L⁰.

2. Jede Basis vonL⁰ ist zu einer Basis vonL erweiterbar.

Hinweis : Kap. 1.3 Skript.