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Zeige, dass dann |κ(t0

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Matthias Makowski, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2013 Martin Franzen

Ubungen zur Vorlesung Elementare Differentialgeometrie¨

Blatt 3 Aufgabe 3.1. (4 Punkte)

SeiI⊂Rein offenes Intervall,α:I→R2eine regul¨areC2-Kurve.

(i) Nehme an, dass|α(t)|an der Stellet0 ein lokales Maximum hat. Zeige, dass dann

|κ(t0)| ≥ 1

|α(t0)|

gilt, wobeiκ:I→Rdie Kr¨ummung vonαist.

(ii) Nehme nun an, dass f¨ur eins0∈I und einr∈R+ die Bedingungen α(s0) = (r,0), α0(s0) = (0,1), sowieκ(s0)> 1

r

gelten. Zeige, dass die Kurveαlokal umα(s0) innerhalb der KreisscheibeBr(0) liegt.

Aufgabe 3.2. (4 Punkte)

Sei I = (a, b). Sei κ∈ C0(I,R), s0 ∈ I, p ∈ R2, v ∈ S1. Zeige, dass es genau eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Kurveα∈C2(I,R2) mit α(s0) =p, α0(s0) =v und Kr¨ummung κgibt. Zeige auch, dass es eine Funktionϑ∈C1(I,R) mitα0=µ◦ϑgibt, wobeiµ(t) := (cost,sint) f¨urt∈Rsei.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen13.html#ELDG Abgabe:Bis Mittwoch, 15.05.2013, 15.15 Uhr, in der Vorlesung.

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