Wir definieren die Bogenlängenableitung∂s:= |∂1 xα|∂x (dabei ist∂xα:= dαdx), die Tangente T :=∂sα, den Krümmungsvektorκ~ :=∂s2α, die Krümmungκ:=|~κ| und die NormaleN

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Matthias Makowski, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2013 Martin Franzen

Ubungen zur Vorlesung Elementare Differentialgeometrie¨ Blatt 6

Aufgabe 6.1. (8 Punkte)

Seiα:I→Rⁿ, x7→α(x) eine glatte, regul¨are Kurve. Wir definieren die Bogenl¨angenableitung∂s:= _|∂¹

xα|∂x

(dabei ist∂xα:= ^dα_dx), die Tangente T :=∂sα, den Krümmungsvektorκ~ :=∂_s²α, die Krümmungκ:=|~κ| und die NormaleN := ^~^κ_κ fürκ6= 0. Fürn= 3 definieren wir noch den BinormalenvektorB:=T × N und die Torsionτ:=h∂sN,Bi. Zeige nun die folgenden Aussagen:

a) F¨urα:I→R², α(ϑ) := ^r_r^cos_sin^ϑ_ϑ gilt:

∂_ϑα=

−rsinϑ rcosϑ

,|∂ϑα|=r, ∂_s=1

r∂_ϑ,T =

−sinϑ cosϑ

, ~κ= 1

r

−cosϑ

−sinϑ

, κ= 1 r,N =

−cosϑ

−sinϑ

.

b) F¨urα:I→Rⁿ, ϑ7→α(ϑ) gilt:

hT,N i= 0 =hT, ~κi.

c) F¨urα:I→Rⁿ, ϑ7→α(ϑ) gilt:

κ=

|α⁰⁰|²− hα⁰,T i²¹₂

|α⁰|² d) F¨urα:I→Rⁿ, ϑ7→α(ϑ) gilt:

N = α⁰⁰− hα⁰⁰,T i T |α⁰⁰|²− hα⁰⁰,T i²¹₂

e) F¨urα:I→R³,ϑ7→α(ϑ) giltB= _|α^α⁰0^×α×α⁰⁰⁰⁰| und

τ =det(α⁰, α⁰⁰, α⁰⁰⁰)

|α⁰×α⁰⁰|²

f) Die obigen Definitionen von Tangente, Normale und Krümmung und für n = 3 auch die Definitionen von Binormalenvektor und Torsion stimmen mit den Definitionen der entsprechenden Größen im Skript

¨uberein.

g) Seiα:R→R³,t7→(t,1, t³). Berechne die Kr¨ummungκ, sowie den NormalenvektorN, sofern letzterer definiert ist. Was passiert mit dem Normalenvektor int= 0?

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen13.html#ELDG Abgabe:Bis Mittwoch, 05.06.2013, 15.15 Uhr, in der Vorlesung.