Zeige, dass es n Vektorfelderei ∈C∞([a, b],Rn), 1 ≤i ≤n, mit den folgenden Eigen- schaften gibt: (i) F¨ur jedest∈[a, b] bilden die Vektorene1

Matthias Makowski, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2013 Martin Franzen

Ubungen zur Vorlesung Elementare Differentialgeometrie¨ Blatt 7

Aufgabe 7.1. (4 Punkte)

Seiα∈C^∞([a, b],Rⁿ) eineFrenet-Kurve, d. h. f¨ur allet∈[a, b] sind die Vektorenα⁰(t), α⁰⁰(t), . . . , α⁽ⁿ⁻¹⁾(t) linear unabh¨angig. Zeige, dass es n Vektorfeldere_i ∈C^∞([a, b],Rⁿ), 1 ≤i ≤n, mit den folgenden Eigen- schaften gibt:

(i) F¨ur jedest∈[a, b] bilden die Vektorene1, . . . , en eine Orthonormalbasis mit det(e1, . . . , en) = 1.

(ii) F¨uri= 1, . . . , n−1 gilthe1, . . . , eii=hα⁰, . . . , α⁽ⁱ⁾iundhei, α⁽ⁱ⁾i>0.

Die Vektorfeldere1, . . . , en sind also ein l¨angsαbegleitendes n-Bein.

Aufgabe 7.2. (4 Punkte)

Seiα∈C^∞([a, b],Rⁿ) eine nach der Bogenl¨ange parametrisierteFrenet-Kurve und seie1, . . . , en ein l¨angsα begleitendesn-Bein. Zeige, dass esn−1 Funktionenκ₁, . . . , κ_n−1∈C^∞([a, b],R) mit

(e⁰₁e⁰₂ . . . e⁰_n) = (e1e2 . . . en)·A

gibt, wobeiA∈C^∞([a, b],R^n×n) die schiefsymmetrische Matrix ist, auf deren oberer/unterer Nebendiagonale sich die Elemente ±κ1 bis±κ_n−1 befinden und deren sonstige Eintr¨age Null sind. Zeige weiterhin, dass die Funktionenκ1, . . . , κ_n−2 positiv sind. Wir bezeichnen die Funktionenκ1, . . . , κ_n−1alsFrenet-Kr¨ummungen.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen13.html#ELDG Abgabe:Bis Mittwoch, 12.06.2013, 15.15 Uhr, in der Vorlesung.