Dann gilt ∇f(γ(t))⊥e1(t), κ(t) =−D2f(γ(t))(e1(t), e1(t)) ∇f(γ(t))·e2(t

Matthias Makowski, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2013 Martin Franzen

Ubungen zur Vorlesung Elementare Differentialgeometrie¨ Blatt 5

Aufgabe 5.1. (6 Punkte)

Seif :R² →ReineC²-Funktion. Der Gradient vonf ist als∇f :R² →R², p7→

∂f

∂x(p),^∂f_∂y(p)

definiert.

Beweise die folgenden Aussagen:

a) Seif(p) = 0 und∇f(p)6= 0. Dann gilt mit dem Satz ¨uber implizite Funktionen: Es gibt eine Umgebung U vonpund eine regul¨areC²-Kurveγ:I →R², so dass f¨ur alleq∈U gilt:f(q) = 0 genau dann, wenn es eint∈I mitγ(t) =qgibt.

b) Seiγ:I→R²eine regul¨areC²-Kurve, so dassf(γ(t)) = 0 und∇f(γ(t))6= 0 f¨ur allet∈I. Dann gilt

∇f(γ(t))⊥e1(t), κ(t) =−D²f(γ(t))(e₁(t), e₁(t))

∇f(γ(t))·e2(t) , wobei e₁(t) := _|˙^γ(t)_γ(t)|^˙ , e₂(t) := _κ(t)¹ _¨γ

|γ|˙² −^h¨γ,_|˙γ|^γi˙4^γ˙

und D²f(p) die zweite Ableitung oder Hesse-Matrix vonf an der Stellepist.

(Hinweis: Leite(f◦γ)(t) = 0zwei Mal nach t ab.)

Aufgabe 5.2. (2 Punkte)

Seic∈C²(I,R²) eine nach der Bogenl¨ange parametrisierte Kurve und ˜c∈C²(I,R³) die KurveI→R³, t7→

(c(t),0). Seit0∈I.

a) Zeige, dassκ_c˜(t) =|κ_c(t)|gilt, wobeiκ_c die orientierte Kr¨ummung der Kurvecist, undκ_c˜die Kr¨ummung der Raumkurve ˜cist.

b) Seic∈C³(I,R²) und seiκc(t0)6= 0. Zeige, dass f¨ur die Torsionτ˜c(t0) = 0 gilt.

c) Sei κc(t0) 6= 0. Zeige, dass N(t0) = ±(ν(t0),0) gilt, wobei ν die Normale an c ist. Wann ist N(t0) = (ν(t0),0) und wann ist N(t0) =−(ν(t0),0)?

d) Seiκc(t0)6= 0. Zeige, dassB(t0) =±e3(t0) gilt. Wann istB(t0) =e3(t0) und wann istB(t0) =−e3(t0)?

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen13.html#ELDG Abgabe:Bis Mittwoch, 29.05.2013, 15.15 Uhr, in der Vorlesung.