Zeige nun, dass ˜ϕN eine Untermannigfaltigkeits-Karte vonSn ist

Matthias Makowski, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2013 Martin Franzen

Ubungen zur Vorlesung Elementare Differentialgeometrie¨

Blatt 9 Aufgabe 9.1. (4 Punkte)

(i) SeiN ∈Sⁿ der Nordpol. Wir definieren nun eine Abbildung ϕ^N :Sⁿ\ {N} →Rⁿ,

indem wir einem Punkt x∈Sⁿ den Schnittpunkt der N undxverbindenden Geraden mit der Ebene Rⁿ≡Rⁿ× {0} zuweisen. Weiterhin definieren wir

˜

ϕ^N :Rⁿ⁺¹\ {(0, . . . ,0, z) :z≥0}

durch ˜ϕ^N(x) :=

ϕ^N

x

|x|

,|x|

. Zeige nun, dass ˜ϕ^N eine Untermannigfaltigkeits-Karte vonSⁿ ist.

(ii) Skizziere eine weitere Auswahl von Karten, mit welcher Sⁿ zu einer Untermannigfaltigkeit des Rⁿ⁺¹ wird.

Aufgabe 9.2. (4 Punkte)

(i) SeiM ={x∈R³: dist(x,S¹× {0}) = ¹₄}. Zeige, dassM eine Untermannigfaltigkeit desR³ist.

(ii) Es bezeichneO(n) den Raum der orthogonalenn×n-Matrizen. Zeige, dass O(n) eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit desR^n×n ist.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen13.html#ELDG Abgabe:Bis Mittwoch, 26.06.2013, 15.15 Uhr, in der Vorlesung.