(Die Gram-Matrix einer Bilinearform) (a) SeiV einK-Vektorraum mit einer BilinearformB

Wend Werner Thomas Timmermann

Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 2, SS 15 Blatt 8

Abgabe bis Mi, 17.06., 12 Uhr

Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung, abzugeben

Aufgabe 1. (a) Wir betrachten ein von zwei Vektorenv, w ∈R² aufgespanntes Par- allelogramm. Zeigen Sie mit Hilfe elementarer Eigenschaften des Skalarprodukts:

i) Das Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn seine beiden Diago- nalen gleich lang sind.

ii) Das Parallelogramm ist genau dann ein Rhombus (hat also gleich lange Seiten), wenn seine Diagonalen senkrecht stehen.

(b) Pr¨ufen Sie, ob die Formel

hA, Bi:= Spur(B^>A)

auf den reellen n×n-Matrizen ein Skalarprodukt definiert.

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 2. (Die Gram-Matrix einer Bilinearform)

(a) SeiV einK-Vektorraum mit einer BilinearformB. Deren Gram-Matrix bez¨uglich einer Basis v₁, . . . , v_n ist die Matrix (B(v_i, v_j))_i,j. Beschreiben Sie, wie sich die Gram-Matrix ¨andert, wenn man zu einer anderen Basisw₁, . . . , w_n wechselt, und verwenden Sie dazu die Basiswechselmatrix T, definiert durchwi=Pn

j=1tijvj. (b) SeiA=

a b b d

eine reelle Matrix mit det(A)>0. Zeigen Sie, dass dann durch

B(x, y) :=

(hAx, yi, a >0,

−hAx, yi, a <0, ein Skalarprodukt aufR² definiert wird.

(Hinweis: Berechnen Sie hA(λv+µw), λv+µwi f¨urv= 1

0

undw= −b

a

.) Aufgabe 3 (Orthogonale Projektion auf Unterr¨aume)

Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt h·,·i und Orthonormalsystem u1, . . . , un und bezeichneU die lineare H¨ulle vonu₁, . . . , u_n. Wir definieren dieorthogonale Projektion P_U:V →U durch v7→P

ihv, u_iiu_i. Zeigen Sie:

(a) Sindx, y∈V orthogonal, so gilt kx+yk² =kxk²+kyk². (b) F¨ur alle v∈V und u∈U gilt hv−P_U(v), ui= 0.

(c) F¨ur alle v∈V und w∈U mitw6=PU(v) gilt kv−PU(v)k<kv−wk.

(Hinweis: Nutzen Sie (a) mit x=v−PU(v) und geeignetem y.)

Nach (c) ist PU(v) der eindeutige Vektor in U mit dem k¨urzesten Abstand zu v und h¨angt somit nicht von den Vektorenu1, . . . , un, sondern nur von dem UnterraumU ab.

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Wend Werner Thomas Timmermann

Aufgabe 4. (Das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren)

(a) Sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt h ·,· i und linear unabh¨angigen Vektoren v1, . . . , vn. Wir setzen u1 :=v1/kv₁k und definieren f¨urk= 2, . . . , n

w_k:=v_k−

k−1

X

i=1

hv_i, u_iiu_i und u_k:=w_k/kw_kk.

Zeigen Sie: w_k 6= 0 f¨ur allek und u1, . . . , un ist ein Orthonormalsystem.

(b) Berechnen Sie u₁, u₂, u₃ f¨ur den Fall, dass V =C([−1,1]), hf, gi=

Z 1

−1

f(t)g(t)dt, v1(t) = 1, v2(t) =t, v3(t) =t².

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