Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 2
Ubungsblatt 10, Abgabe bis 07. Juli 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Skalarprodukte)
(a) Wir betrachten ein von zwei Vektoren v, w ∈ R2 aufgespanntes Parallelogramm.
Zeigen Sie mit Hilfe elementarer Eigenschaften des Skalarprodukts:
i) Das Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn seine beiden Diago- nalen gleich lang sind.
L¨osung: Die Diagonalen haben die L¨ange kv±wk=p
hv±w, v±wi=p
kvk2±2hv, wi+kwk2
und diese sind genau dann gleich, wenn hv, wi = 0, also wenn das Paralel- logramm ein Rechteck ist.
ii) Das Parallelogramm ist genau dann ein Rhombus (hat also gleich lange Seiten), wenn seine Diagonalen senkrecht stehen.
L¨osung: Die Diagonalen stehen senkrecht genau dann, wenn 0 =hv−w, v+wi=kvk2− kwk2, also wenn die Seiten gleich lang sind.
(b) Pr¨ufen Sie, ob die Formel
hA, Bi:= Spur(B>A)
auf den reellenn×n-Matrizen ein Skalarprodukt definiert.
L¨osung: Symmetrie rechnet man nach, z.B. indem man zeigt, dass hA, Bi=X
i,j
aijbij, (1)
oder verwendet, dass
Spur(B>A) = Spur((B>A)>) = Spur(A>B).
Positive Definitheit: folgt aus (1).
1
