Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 2
Ubungsblatt 10, Abgabe bis 07. Juli 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Skalarprodukte)
(a) Wir betrachten ein von zwei Vektoren v, w ∈ R2 aufgespanntes Parallelogramm.
Zeigen Sie mit Hilfe elementarer Eigenschaften des Skalarprodukts:
i) Das Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn seine beiden Diago- nalen gleich lang sind.
ii) Das Parallelogramm ist genau dann ein Rhombus (hat also gleich lange Seiten), wenn seine Diagonalen senkrecht stehen.
(b) Pr¨ufen Sie, ob die Formel
hA, Bi:= Spur(B>A)
auf den reellenn×n-Matrizen ein Skalarprodukt definiert.
Aufgabe 2. (Spiegelungen entlang von Ebenen im R3)
Seienv, w∈R3 linear unabh¨angig undu:=v×wihr Kreuzprodukt. BezeichneS:R3 → R3 die Spiegelung entlang der vonv und w aufgespannten Ebene.
(a) Zeigen Sie: u steht senkrecht auf v und aufw.
(b) Zeigen Sie: F¨ur alle x∈R3 giltS(x) =x−2hu, xi hu, uiu.
(Hinweis: Verwenden Sie, dass u, v, w nach (a) eine Basis desR3 bilden.) (c) Zeigen Sie: Die Darstellungsmatrix vonS bez¨uglich der Standardbasis ist
E3−2uu>
u>u,
wobeiu> den Zeilenvektor bezeichnet, der aus dem Spaltenvektoru durch Trans- ponieren entsteht, und im Quotienten jeweils Matrixprodukte im Z¨ahler und Nen- ner stehen.
(d) Berechnen Sie das Bild des Vektorsx=
1 1 1
im Fall v=
1 2 3
undw=
3 2 1
.
Aufgabe 3. (Orthogonale Projektion auf Unterr¨aume)
Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt h·,·i und Orthonormalsystem u1, . . . , un und bezeichne U die lineare H¨ulle vonu1, . . . , un. Wir definieren die orthogonale Projektion PU:V →U durch v7→P
ihv, uiiui. Zeigen Sie:
(a) Sindx, y∈V orthogonal, so gilt kx+yk2 =kxk2+kyk2. (b) F¨ur allev ∈V undu∈U gilthv−PU(v), ui= 0.
1
Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
(c) F¨ur allev ∈V undw∈U mitw6=PU(v) gilt kv−PU(v)k<kv−wk.
(Hinweis: Nutzen Sie (a) mitx=v−PU(v) und geeignetemy.)
Nach (c) ist PU(v) der eindeutige Vektor in U mit dem k¨urzesten Abstand zu v und h¨angt somit nicht von den Vektorenu1, . . . , un, sondern nur von dem Unterraum U ab.
Aufgabe 4. (Mehr zu symmetrischen Matrizen)
Sei A eine symmetrische n×n-Matrix, v1, . . . , vn eine Orthonormalbasis aus Eigenvek- toren vonAundλ1, . . . , λndie zugeh¨origen Eigenwerte. Zur Erinnerung: Aheißtpositiv definit, wennhv, Avi>0 f¨ur alle v6= 0. Zeigen Sie:
(a) WennA positiv definit ist, m¨ussen alle Eigenwerteλi von A positiv sein.
(b) Sind umgekehrt alle Eigenwerteλi von A positiv, so ist auch Apositiv definit.
(Hinweis: Um hAv, vi > 0 zu pr¨ufen, schreiben Sie v als Linearkombination der vi).
(c) Es giltA=P
iλiviv>i , wobei hier wiederviv>i einen×n-Matrix ergibt.
2
