Zeigen Sie, dassU genau dann unit¨ar ist, wenn U bijektiv ist mit U−1 =U∗

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J. M¨uller Wintersemester 2018/2019 16.01.2019

11. ¨Ubung zur Funktionalanalysis

A36: Es seien X, Y Hilbertr¨aume und U ∈L(X, Y).

a) Zeigen Sie, dassU genau dann isometrisch ist, wenn hU x, U yi=hx, yi (x, y ∈X) f¨ur alle x, y ∈X gilt.

b) U heißt unit¨ar, falls U surjektiv und isometrisch ist. Zeigen Sie, dassU genau dann unit¨ar ist, wenn U bijektiv ist mit U⁻¹ =U^∗.

A37: ¨Uberlegen Sie sich, dass in der Situation von B. 7.8 der Vorlesung {U e : e ∈ M+} ein Orthonormalsystem ist.

A38: Es sei X ein Hilbertraum. Ein Operator T ∈ L(X) heißt normal, falls T^∗T =T T^∗ gilt. Beweisen Sie: Ist T normal, so gilt r(T) =kTk.

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⋅=−=Ω⋅−+=⋅+= eV450V7,37j6,448m20A1883j2510V4,398RIUU WindkraftgeneratorKabelU WindkraftgeneratorKabelU NetzI NetzI C C U U U U U U Z Z R R I I I I