Ubungen zur ¨
” Geometrie“
WS 2015/16 Blatt 2 Prof. Fritzsche
Die affine Standardebene A2 wird hier mit dem zugeh¨origen Vektorraum R2 iden- tifiziert. Alles findet in A2 statt, Punkte werden mit Vektoren identifiziert.
Es d¨urfen alle Ergebnisse aus den Abschnitten 1.1 bis 1.4 benutzt werden.
5 ) Gegeben seien zwei Punktex16=x2inA2. MitLsei die Verbindungsgerade dieser Punkte bezeichnet. Zeigen Sie: Ein Punktx∈A2liegt genau dann aufL, wenn es reelle Zahlenλ1, λ2, λ3
mit (λ1, λ2, λ3)6= (0,0,0),λ1x1+λ2x2+λ3x=0undλ1+λ2+λ3= 0 gibt.
6 ) Vier Punkte a, b, c und dbilden ein
”Viereck“ mit den Seiten-Vektoren v := b−a, w:=c−b,r:=d−cunds:=a−d. Das Viereck heißt einParallelogramm, fallsv+r=0 undw+s=0ist.
Stellen Sie f¨ur ein solches Parallelogramm die Diagonalen als Linearkombinationen von v und w dar. Zeigen Sie, dass sich die Diagonalen treffen und sich dabei jeweils im Verh¨altnis 1 : 1 teilen.
7 ) Dies ist eine Fortsetzung von Aufgabe (6). Zeigen Sie f¨ur das Parallelogramm aus Aufgabe (6):
1. Die vier Seiten sind genau dann gleich lang, wenn die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen.
2. Das Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn die Diagonalen gleich lang sind.
8 ) DieMittelsenkrechtezur Streckeabist die Gerade durchm:= (a+b)/2, die aufb−a senkrecht steht. Zeigen Sie:
a) Ein Punktxliegt genau dann auf der Mittelsenkrechten, wennxvona undbden gleichen Abstand hat.
b) In einem Dreieck mit den Eckena,bundctreffen sich die drei Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks in einem Punkt z, der Zentrum eines Kreises durch alle drei Ecken des Dreiecks ist.
Abgabetermin: Mittwoch, 11.11.2015, 10 Uhr.Pro Aufgabe gibt es maximal 12 Punkte.
Gruppe 1 (Etwein): Fach 56 auf D.13.
Gruppe 2 (Osenberg / Benstein): Fach 33 auf F.12.
