¨Ubungsblatt 1, Besprechung 24.10.07

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Quantenfeldtheorie I WS 06/07 Prof. Jan Plefka

Ubungsblatt 1, Besprechung 24.10.07 ¨

Aufgabe 1: Klassische Elektrodynamik

Die Klassische Elektrodynamik folgt aus der Wirkung S = d

⁴

x (− 1

4 F

_µν

F

^µν

) F

_µν

= ∂

_µ

A

_ν

− ∂

_ν

A

_µ

a) Bestimmen Sie die zugeh¨ origen Euler-Lagrange Gleichungen und zeigen Sie, dass Sie die Maxwellgleichungen bilden. Hierzu benutzen Sie E

ⁱ

= −F

⁰ⁱ

und

^ijk

B

^K

= −F

^ij

.

b) Bestimmen Sie den Energie-Impulstensor T

_µν

der Theorie. Dieser ist zun¨ achst nicht symmetrisch, l¨ aßt sich aber durch Addition von ∂

_λ

(F

^µλ

A

^ν

) symmetrisieren. Zeigen Sie, dass die Addition dieses Terms die Divergen- zfreiheit ∂

_µ

T

^µν

erh¨ alt.

Aufgabe 2: Matrixdarstellung der Lorentzgruppe

Zeigen Sie, dass (L

_µν

)

_α^β

= λ (η

_να

δ

_µ^β

− η

_µα

δ

^β_ν

) die Lorentzalgebra erf¨ ullt.

Fixieren Sie den Parameter λ so, dass wir

[L

µν

, L

ρκ

] = i η

νρ

L

µκ

+ i η

µκ

L

νρ

− i η

νκ

L

µρ

− i η

µρ

L

νκ

in den Konventionen der Vorlesung erhalten.

Aufgabe 3: Kasimiroperatoren der Poincar´ ealgebra Zeigen Sie, dass

P

^µ

P

_µ

W

^µ

W

_µ

mit W

^µ

= 1

2

^µνρκ

L

_νρ

P

_κ

mit allen Generatoren der Poincar´ ealgebra (P

_µ

, L

_µν

) vertauscht. W

^µ

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Quantenfeldtheorie I WS 06/07 Prof. Jan Plefka

Ubungsblatt 1, Besprechung 24.10.07 ¨

Aufgabe 1: Klassische Elektrodynamik

Die Klassische Elektrodynamik folgt aus der Wirkung S = d

x (− 1

4 F

F

) F

= ∂

A

− ∂

A

a) Bestimmen Sie die zugeh¨ origen Euler-Lagrange Gleichungen und zeigen Sie, dass Sie die Maxwellgleichungen bilden. Hierzu benutzen Sie E

= −F

und

B

= −F

.

b) Bestimmen Sie den Energie-Impulstensor T

der Theorie. Dieser ist zun¨ achst nicht symmetrisch, l¨ aßt sich aber durch Addition von ∂

(F

A

) symmetrisieren. Zeigen Sie, dass die Addition dieses Terms die Divergen- zfreiheit ∂

T

erh¨ alt.

Aufgabe 2: Matrixdarstellung der Lorentzgruppe

Zeigen Sie, dass (L

)

= λ (η

δ

− η

δ

) die Lorentzalgebra erf¨ ullt.

Fixieren Sie den Parameter λ so, dass wir

[L

, L

] = i η

L

+ i η

L

− i η

L

− i η

L

in den Konventionen der Vorlesung erhalten.

Aufgabe 3: Kasimiroperatoren der Poincar´ ealgebra Zeigen Sie, dass

P

P

W

W

mit W

= 1

2

L

P

mit allen Generatoren der Poincar´ ealgebra (P

, L

) vertauscht. W

wird als der Pauli-Lubanski Vektor bezeichnet

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