ETHZ, D-MAVT
Herbst 2005 Vordiplompr¨ufung Lineare Algebra
K. Nipp
Wichtige Hinweise
• Zweist¨undige Pr¨ufung.
• Hilfsmittel: 20 A4-Seiten (von Hand oder mit dem Computer geschrieben). Taschen- rechner sind nicht erlaubt.
• Alle Aufgaben werden gleich gewichtet!
• Begr¨unden Sie jeweils Ihre Aussagen. Nichtmotivierte L¨osungen werden nicht akzeptiert!
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1. Gegeben sei ein Gleichungssystem mit dem reellen Parameter α:
α x1 +4x2 +5x3 = α x1 +α x2 −2x3 = 1 2x1 +2α x2 −α2x3 = α
F¨ur welche α besitzt dieses Gleichungssystem genau eine, unendliche viele, keine L¨osung? Zu denjenigen α, f¨ur die das Gleichungssystem l¨osbar ist, bestimme man die L¨osungsmenge.
2. Reto l¨auft bei einem Wettkampf die 10000m-Strecke. Opa Alois steht voller Stolz an der 5000m-Marke und misst eine Zeit von 14 min. Mutter Susanne erwartet ihren Sohn am Ziel und misst 33 min. Reto selbst stoppt mit seiner Stoppuhr f¨ur die ersten 5000m eine Zeit von 15 min und f¨ur die zweiten 5000m eine Zeit von 17 min. Retos Trainer stellt (mit der Hilfe seines Co-trainers) fest, dass Reto wie auch im Training auf den zweiten 5000m 1min langsamer als auf den ersten 5000m war.
Seien:
A: Zeit, die Reto f¨ur die ersten 5000m braucht B: Zeit, die Reto f¨ur die zweiten 5000m braucht.
Bestimmen Sie die beiden Zeiten A und B mit Ausgleichsrechnung aus den oben angegebenen Zeiten.
3. Wir betrachten eine lineare Abbildung, die durch die folgende Matrix beschrieben wird:
A=
1 −1 0
−1 α −1
0 1 2
.
F¨ur welche Werte des reellen Paramaters α ist die Abbildung nicht umkehrbar?
Bestimmen Sie f¨ur diese α
a) den Rang von A,
b) den Kern und das Bild von A.
4. Bestimmen Sie die Eigenwerte der Dreiecksmatrix
A=
1 0 0 3 0
0 1 1 0 −1
0 0 1 1 2
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
und berechnen Sie m¨oglichst viele linear unabh¨angige Eigenvektoren. Welches sind die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte? Ist A diagonal- isierbar?
5. Gegeben Sei das Differentialgleichungssystem 1. Ordnung ˙y=Ay, wobei A=
2 0 1
0 4 1
0 8 −3
.
a) Bestimmen Sie die spezielle L¨osung zu den Anfangsbedingungeny1(0) = 1, y2(0) = 2, y3(0) = 2.
b) Bestimment Sie alle Anfangsbedingungeny1(0), y2(0), y3(0), f¨ur wleche die zugeh¨orige L¨osung (y1(t), y2(t), y3(t)) f¨ur t→ ∞ gegen Null strebt.
6. a) Ein Vektorraum W sei von den folgenden Vektoren erzeugt:
b(0) =
1 0 1 1
, b(1) =
0
−1 1 1
, b(2) =
2 1 1 1
, b(3) =
−1
−1 0 0
, b(4) =
1 1 1 1
.
Geben Sie unter diesen eine Basis vonW an.
b) Die Vektorenv(1), v(2), v(3)aus dem VektorraumV seien linear unabh¨angig. Zeigen Sie, dass dann die Vektorenv(1)+v(2), v(2)+v(3), v(1)+v(3) eine Basis vonV bilden.
