ETHZ, D-MAVT Beispiel Vordiplompr¨ufung
Lineare Algebra K. Nipp
Wichtige Hinweise
• Zweist¨undige Pr¨ufung.
• Pr¨ufung Hilfsmittel: 20 A4-Seiten (von Hand oder mit dem Computer geschrieben).
Taschenrechner sind nicht erlaubt.
• Alle Aufgaben werden gleich gewichtet!
• Begr¨unden Sie jeweils Ihre Aussagen. Nichtmotivierte L¨osungen werden nicht akzeptiert!
— • —
1. Gegeben sei die folgende Matrix:
A=
1 1 1
−1 1 a 1 0 −1
a) Berechnen Sie f¨urA die LR-Zerlegung.
b) Bestimmen Sie f¨ur folgende Vektorenbdie L¨osungsmenge des linearen Gleichungssys- tems Ax=b in Abh¨angigkeit des Parameters a:
0 0 0
,
1 1 1
.
2. Betrachten Sie das lineare Anfangswertproblem
˙
x=Ax, A=
2 1 0 2 1 0 0 0 1
, x(0) =
0 1 1
.
Bestimmen Sie die L¨osung x(t) dieses Systems mit der Transformationsmethode.
3. Eine reelle 2×2 Matrix A habe das folgende charakteristische Polynom:
PA(λ) = λ2−2aλ+a2−b2.
a) F¨ur welche Werte von a, b hat diese Matrix Rang 2?
b) Geben Sie Werte von a, b an, f¨ur welche diese Matrix diagonalisierbar ist?
4. Wir erzeugen eine Folge {an}n∈ von reellen Zahlen mit folgender Vorschrift: 1) a0, a1 sind vorgegeben; 2) ak+2 = (ak+1 +ak)/2, k = 0,1,2, . . .. Geben Sie einen arithmetischen Ausdruck in a0, a1 f¨ur das allgemeine Glied an der Folge an.
5. Die 4 Punkte P1 =
1 0 0
, P2 =
0 2 0
, P3 =
0 0 3
, P4 =
1 1 1
∈R3 liegen fast, aber nicht ganz, auf einer Ebene. W¨ahlen Sie a, b in R, so dass der Abstand zwischen den Punkten P1, P2, P3, P4 und der Ebene z =ax+by m¨oglichst klein wird.
6. Geben Sie f¨ur folgende Abbildung F von R3 in sich alle Eigenwerte der Abbildungs- matrix an und eine Basis f¨ur jeden Eigenraum. Gibt es eine Basis in welcher die Matrixdarstellung der Abbildung Diagonalform hat? Wenn ja, welche?
F :
x1
x2
x3
7−→
x1+x2+x3
2x2+x3
2x2+ 3x3
.
