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Geben Sie sichere Approximationen f¨ur die Funktion f(z

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WS 2013/2014 07.01.2014 Ubungen zur Vorlesung¨

B¨aume, Ordnungen und Anwendungen Blatt 10

Juniorprof. Dr. Roland Meyer Abgabe bis 14.01.2014 um 14h Aufgabe 10.1 (Abstrakte Interpretation)

Betrachten Sie das folgende Programm, das dieHailstone-Folge berechnet:

while [x6= 1]1 do if [even(x)]2 then

[x:=bx/2c]3 else

[x:= 3x+ 1]4

Wir wollen das Transitionssystem dieses Programm auf der abstrakten Dom¨aneP({odd,even}) bestimmen.

a) Geben Sie zuerst sichere Approximationen f¨ur die Funktionenx7→ bx/2c,x7→3x+1 sowie die Pr¨adikate even(x) und x6= 1 an.

b) Geben Sie das abstrakte Transitionssystem des Programms an. Nutzen Sie als Startwert {odd}.

Aufgabe 10.2 (Sichere Approximation)

Betrachten Sie die Extraktionsfunktion β : Z → {0, . . . ,3} × {0, . . . ,6} mit z 7→ (z mod 4, z mod 7). Geben Sie sichere Approximationen f¨ur die Funktion f(z) = 3z+ 1 und das Pr¨adikat even an.

Aufgabe 10.3 (Pr¨adikatenabstraktion)

In der Vorlesung wurde als abstrakte Dom¨ane zu einer Menge von Pr¨adikaten P = {p1, . . . , pn} die Menge Abs(P) = {V

Q . . . | Q ⊆ P ∪ ¬P} eingef¨uhrt. Als Ordnung wurde die logische Folgerung verwendet. Das Problem ist, der Join f¨ur diesen Verband schwer zu berechnen ist. Stattdessen verwendet man man in der Praxis die Menge

Tri(P) :=T1×. . .×Tn

der Trivektoren, wobeiTi :={{pi},{¬pi},{pi,¬pi}} f¨ur 1≤i≤nist. Die Ordnung ist hierbei die komponentenweise Inklusion.

Zur Erl¨auterung: Wir k¨onnen uns einen Trivektort= (t1, . . . , tn) als Konjunktion von Literalenpi,¬pioder Formelnpi∨ ¬pivorstellen. So gesehen istteine Formel ¨ahnlich den Cubes aus Abs(P) und jeder erf¨ullbare Cubeq ist logisch ¨aquivalent zu einem Trivektor.

a) Zeigen Sie, dass (Tri(P)∪ {false},⊆n) ein vollst¨andiger Verband ist.

b) Geben Sie zwei Cubesq1, q2 und zwei entsprechende Trivektoren t1, t2 an, so dass der Join q1tq2 pr¨aziser ist alst1tt2.

Abgabe bis 14.01.2014 um 14h im Kasten neben Raum 34-401.4

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