1/4 wobei( − a )dasinverseElementzu a bezeichnet. +( − a )=0 , a +0= aa ( a + b )+ c = a +( b + c ) a + b = b + a a , b ∈ K gilt K , +)isteineabelscheGruppemitneutralemElement0(Nullelement),d.h.f¨uralle EineMenge K ,aufdereineAddition”+“undeineMultiplikat

K¨orper

Eine Menge K, auf der eine Addition

”+“ und eine Multiplikation

”·“ definiert sind, nennt man einen K¨orper, wenn folgendes gilt:

Additive Gruppenstruktur: (K,+) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 (Nullelement), d.h. f¨ur alle a,b ∈K gilt

a+b = b+a (a+b) +c = a+ (b+c)

a+ 0 = a a+ (−a) = 0,

wobei (−a) das inverse Element zua bezeichnet.

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Multiplikative Gruppenstruktur: (K\{0},·) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 (Einselement), d.h. f¨ur alle a,b,c ∈K\{0}

gilt

a·b = b·a (a·b)·c = a·(b·c)

a·1 = a a·a⁻¹ = 1, wobei a⁻¹ das inverse Element zu abezeichnet.

Distributivgesetz:

a·(b+c) =a·b+a·c f¨ur alle a,b,c ∈K.

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Beispiel

K¨orper der rationalen, reellen und komplexen Zahlen Q⊂R⊂C

Nullelement: 0, Einselement: 1

Inverses Element bez¨uglich der Multiplikation einer komplexen Zahl z =x+ iy 6= 0 :

w = x

x²+y² + i −y x²+y² , denn

z·w = (x+ iy)

x

x²+y² + i −y x²+y²

= x²−i²y²

x²+y² + i−xy +yx

x²+y² = 1 + i0 = 1

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Beispiel

Gruppentafeln von Addition und Multiplikation f¨ur den Galois-K¨orper GF[2²] mit 4 Elementen

+ 0 1 a b

0 0 1 a b

1 1 0 b a

a a b 0 1

b b a 1 0

· 0 1 a b

0 0 0 0 0

1 0 1 a b

a 0 a b 1

b 0 b 1 a

z.B: (a+ 1)·b=b·b = 1,−b=b (⇐⇒b+b= 0), 1/a=b

Die Konstruktion von K¨orpern mit p<sup>`</sup> Elementen,`∈N, ist f¨ur beliebige Primzahlen p durchf¨uhrbar.

alle endlichen K¨orper

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