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S AR
A V I E NSI S
PD Dr. Patrick Huber Bau E2
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Elementare Einf¨ uhrung in die Physik II – SS 2009 –
L¨ osung der 6. ¨ Ubung – 03. Juni 2009
Aufgabe 21: Superposition
a)
III) II) I)
q
1q
2q
3b)
q
1q
2q
3a a
a a
a
q
4a) Drei Ladungen q
1, q
2, q
3seien auf 1-dimensional angeordnet (Abb. a)). Ihr Abstand sei a und ihre Ladung q
1= q
2= q und q
3= −n · q. Betrachten Sie zuerst die Ladungsanordnungen in den Bildern I – III, berechnen Sie die Kr¨ afte in Einheiten von F
0=
4πq20a2
und bestimmen Sie so nach dem Superpositionsprinzip die resultierenden Kr¨ afte! Wie groß muss n sein, damit die resultierende Kraft auf Ladung q
1verschwindet? Zeichnen Sie f¨ ur I – III und die L¨ osung auch die vektoriellen Kr¨ afte f¨ ur n = 1 ein!
Beim Erkl¨ aren der Aufgabe bitte darauf achten, dass die Studenten ein Verst¨ andnis von
”Superpositionsprinzip”, ”actio=reactio” und zuletzt der Coulomb-Kraft erlangen. Da die Kraft mit
r12skaliert, entsprechen die Pfeile in III genau
14F
0. Damit sich die Kr¨ afte auf q
1aufheben, muss n = 4 sein.
b) Vier Ladungen q
1, q
2, q
3, q
4seien symmetrisch auf einem gleichseitigen Dreieck angeordnet (Abb. b)). Benutzen Sie das Superpositionsprinzip um die resultierenden Kr¨ afte auf die La- dungen auszurechnen, f¨ ur den Fall, dass q
1= q
2= q
3= q und q
4= −n · q. Wie groß muss n sein, damit die resultierenden Kr¨ afte auf die Ladungen an den Ecken des Dreiecks verschwin- den? (Hinweis: Sie k¨ onnen sich viel Arbeit sparen, indem Sie die Symmetrie des Problems ausnutzen!)
Nat¨ urlich braucht man aufgrund der Symmetrie nur die Kr¨ afte auf z.B. q
2auszurechnen. Der Abstand zwischen den ¨ außeren Ladungen und q
4betr¨ agt
√13
· a. Damit ist die Kraft zwischen q
4und q
2gerade 3 · F
0, wenn F
0die Kraft zwischen zwei ¨ außeren Ladungen ist. Damit muss n =
13sein. Die resultierenden Kr¨ afte auf die Ladung q
2sind gerade 2 F
0· cos(30) = 2 F
0· q
3 4
und −3 · F
0. Das entspricht etwa 1, 268 · F
0.
Aufgabe 22: Divide et computa
Die von einer Ladung auf die andere ausge¨ ubte Kraft ist F = 1
4 π
0q
1q
2d
2. (1)
Wegen q
1+ q
2= q und d = const. ist die Kraft am gr¨ oßten, wenn q
1q
2= q
1(q − q
1) maximal ist.
Ableiten und Nullsetzen liefert dann q − 2 q
1= 0, also q
1= q
2 = q
2. (2)
Die Kraft ist dann
F = 1 4 π
0q
24 d
2. (3)
Aufgabe 23: Maximale Feldst¨ arke
a) Entscheidend f¨ ur die Berechnung des Vektors E ~ ist zum einen der Abstand r des Punktes auf der x-Achse von den beiden Ladungen (bestimmt den Betrag von E) und zum anderen ~ die Richtung der Verbindungslinie (bestimmt die Richtung der Kraft). Der Abstand ist r =
√ x
2+ a
2. Die Richtung des elektrischen Feldes wird durch die beiden Einheitsvektoren 1
r x
−a
bzw. 1 r
x a
(4) bestimmt. Das von beiden Ladungen in der Summe erzeugte Feld ist damit
E(x) = ~ 1 4 π
0· q
r
2· 1
r x
−a
+ 1 r
x a
= 1
4 π
0· 2 x q r
31 0
. (5)
In y-Richtung gibt es also keine resultierende Feldkomponente (aus Symmetriegr¨ unden klar).
Es gibt also nur die x-Komponente:
E = E
x= 1
4 π
0· 2 x q
(x
2+ a
2)
3/2(6)
b) Ableiten nach x (Achtung: r = r(x)) und Nullsetzen von (6) liefert 2 q
4 π
0· 1
r
3− 3 x
2r
5= 0 (7)
also
r
2− 3 x
2= 0 (8)
x
2+ a
2− 3 x
2= 0 (9)
x = ± a
√ 2 . (10)
Aufgabe 24: Durchschlag
a)
C
1= ε
0A
1d
1(11)
= 1, 00 · 10
−12F (12)
C
2= ε
0A
2d
2(13)
= 1, 00 · 10
−12F (14)
C
3= ε
0A
3d
3(15)
= 1, 00 · 10
−12F (16)
(17) b)
U
0= U
1+ U
3U
1= U
2(18)
C
ges= 1
1
C3
+
C 11+C2
(19)
Q
3= Q
1+ Q
2= Q
ges(20)
⇒ Q
3= Q
ges= C
gesU
0(21)
Somit gilt
U
1= U
2= Q
gesC
1+ C
2(22)
= C
gesC
1+ C
2U
0(23)
= 1
1 +
C1C+C23
U
0(24)
= 1
3 U
0(25)
und
U
3= Q
3C
3(26)
= C
gesC
3U
0(27)
= 1
1 +
CC31+C2
U
0(28)
= 2
3 U
0(29)
c) Damit lassen sich nun direkt die maximal an die drei Kondensatoren anlegbaren Spannungen
berechnen
U
1= E d
1(30)
= 2 · 10
6 Vm
· 7 · 10
−3m (31)
= 14 kV (32)
(33)
U
2= E d
2(34)
= 2 · 10
6 Vm
· 9, 8 · 10
−3m (35)
= 19, 8 kV (36)
(37)
U
3= E d
3(38)
= 2 · 10
6 Vm
