Abstand eines Punktes von einer Ebene
Der Abstand eines Punkts P von einer Ebene
E : ~ x · ~ n = d mit Normalenvektor ~ n ist
d P = |~ p · ~ n − d |/|~ n| .
Insbesondere ist d O = |d |/|~ n| der Ab- stand der Ebene vom Ursprung O.
Der n¨ achstgelegene Punkt X ∈ E zu P wird als Projektion von P auf E bezeichnet und hat den Ortsvektor
~ x = ~ p − s~ n ◦ , s = ~ p · ~ n − d
|~ n| = σd P
mit σ = sign(~ p · ~ n − d ) und ~ n ◦ = ~ n/|~ n| dem normierten Normalenvektor.
1 / 6
F¨ ur eine Ebene in Hesse-Normalform ist d ≥ 0 und | ~ n| = 1, d.h. ~ n = ~ n ◦ , und die Formeln haben die einfachere Form
d P = |~ p · ~ n − d |, d O = d , ~ x = ~ p − (~ p · ~ n − d )~ n .
Beweis
(i) Projektion X :
−→ XP k ~ n = ⇒
~ x = ~ p − s n ~ ◦ , ~ n ◦ = ~ n/|~ n|
Ebenengleichung f¨ ur X ∈ E = ⇒
~
x · ~ n = ~ p · ~ n − (s~ n ◦ ) · ~ n = d
~ n ◦ · ~ n = | ~ n|, Aufl¨ osen nach s Ausdruck f¨ ur die Projektion
s = ~ p · ~ n − d
| ~ n| , ~ x = ~ p − ~ p · ~ n − d
|~ n| ~ n ◦ (ii) Abstand:
d P =
−→ XP
= |~ p − ~ x| =
~ p · ~ n − d
| ~ n| ~ n ◦
|~ n
◦= |=1
|~ p · ~ n − d |
|~ n|
3 / 6
Beispiel
Abstand des Punkts P = (2, −4, 5) von der Ebene E : x 1 − 3x 2 + 2x 3 = −4 und Projektion X von P auf E
(i) Abstand:
d P = |~ p · ~ n − d |
|~ n|
Einsetzen von ~ p = (2, −4, 5), Normalenvektor (= Koeffizientenvektor der Ebenengleichung) ~ n = (1, −3, 2) t , d = −4 (rechte Seite der
Ebenengleichung)
d P = |(2, −4, 5) t · (1, −3, 2) t − (−4)|
|(1, −3, 2) t |
|(2 + 12 + 10) + 4| 28 √
(ii) Projektion:
~ x = ~ p − σd P ~ n ◦
σ = sign(~ p · ~ n − d ) = sign(28) = 1, ~ n ◦ = ~ n/| ~ n| = (1, −3, 2) t / √ 14
~ x =
2
−4 5
− (1)(2 √ 14)
1
−3 2
.√
14
=
2
−4 5
− 2
1
−3 2
=
0 2 1
5 / 6
