Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze Prof. Dr. Christoph Karg

(1)

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Definitionen und Sätze

Prof. Dr. Christoph Karg

Studiengang Informatik Hochschule Aalen

Wintersemester 2021/2022

(2)

Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum

Definition 1.1 Sei Ω eine endliche oder abzählbar unendliche Menge. Sei Pr : Ω 7→ R eine Abbildung.

(Ω, Pr) ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Für alle ω ∈ Ω gilt: 0 ≤ Pr [ ω ] ≤ 1.

2. ∑

ω ∈ Ω Pr [ω ] = 1.

(3)

Ereignis

Definition 1.2. Sei (Ω, Pr) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.

Eine Menge A ⊆ Ω heißt Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit Pr [ A] des Ereignisses A ist definiert als

Pr [A ] = ∑

ω ∈ A

Pr [ ω] .

(4)

Prinzip von Laplace

Prinzip von Laplace:

Wenn nichts dagegen spricht, kann man davon ausgehen, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind.

Formal: Für alle ω ∈ Ω gilt:

Pr [ω ] = 1

kΩk .

Voraussetzung: kΩk < ∞

(5)

Rechenregeln

Additionssatz

Satz 2.1 (Additionssatz) Für zwei disjunkte Ereignisse A und B gilt:

Pr [ A ∪ B ] = Pr [ A] + Pr [ B] .

Allgemein: Sind die Ereignisse A ₁ , . . . , A _n paarweise disjunkt, dann gilt:

Pr [ _n

∪

i=1

A i

]

=

∑ n i=1

Pr [ A i ] .

Für eine unendliche Menge von disjunkten Ereignissen A ₁ , A ₂ , . . . gilt:

Pr [ _∞

∪

i=1

A _i ]

=

∑ ∞ i=1

Pr [ A _i ] .

(6)

Rechenregeln

Elementare Rechenregeln

Satz 2.2 Für zwei beliebige Ereignisse A und B gilt:

1. Pr [ ∅ ] = 0, Pr [Ω] = 1.

2. 0 ≤ Pr [A] ≤ 1.

3. Pr [ A ]

= 1 − Pr [ A].

4. Wenn A ⊆ B, dann Pr [A] ≤ Pr [ B].

(7)

Rechenregeln

Siebformel

Satz 2.3 (Siebformel) Für zwei Ereignisse A und B gilt:

Pr [ A ∪ B] = Pr [A] + Pr [B ] − Pr [ A ∩ B] . Für drei Ereignisse A ₁ , A ₂ und A ₃ gilt:

Pr [ A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ]

= Pr [A 1 ] + Pr [A 2 ] + Pr [ A 3 ]

−Pr [ A 1 ∩ A 2 ] − Pr [ A 1 ∩ A 3 ]

−Pr [ A ₂ ∩ A ₃ ] + Pr [ A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ ] Allgemein: Für n ≥ 2 Ereignisse A ₁ , . . . , A _n gilt:

Pr [ A ₁ ∪ . . . ∪ A _n ]

= ∑

(−1) ^∥ ^S ^∥ ⁺¹ Pr [ ∩

A _i

]

(8)

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Definition 3.1 Gegeben sind die Ereignisse A und B, wobei Pr [B ] > 0.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pr [A | B] von A gegeben B ist definiert durch

Pr [A | B] = Pr [ A ∩ B ]

Pr [ B] .

(9)

Multiplikationssatz

Satz 3.5 (Multiplikationssatz) Gegeben sind die Ereignisse A 1 , . . . , A n .

Angenommen,

Pr [ A 1 ∩ . . . ∩ A n ] > 0.

Dann gilt:

Pr [A ₁ ∩ . . . ∩ A _n ] = Pr [A ₁ ] · Pr [ A ₂ | A ₁ ] · Pr [A ₃ | A ₁ ∩ A ₂ ]

· . . . · Pr [A _n | A ₁ ∩ . . . ∩ A _n−1 ] .

(10)

Beispiel: Geburtstagsproblem

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1 -0.5 0 0.5 1

y

x

exp(-x) 1-x

Approximation von 1 − x durch e ^−x

(11)

Beispiel: Geburtstagsproblem (Forts.)

(12)

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Satz 3.7 (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit) Angenommen die Ereignisse A 1 , . . . , A n bilden eine Partition von Ω, d.h.

∪ n

i=1 A _i = Ω und für alle i 6 = j gilt A _i ∩ A _j = ∅ . Dann gilt für jedes Ereignis B ⊆ Ω:

Pr [B] =

∑ n i=1

Pr [B | A i ] · Pr [ A i ] .

(13)

Satz von Bayes

Satz 3.9 (Satz von Bayes) Gegeben sind die paarweise disjunkten Ereignisse A 1 , . . . , A n . Falls B ⊆ A 1 ∪ . . . ∪ A n mit Pr [ B] > 0, dann ist für ein beliebiges i ∈ { 1, . . . , n }

Pr [ A i | B] = Pr [ B | A i ] Pr [A i ] Pr [B ]

= Pr [ B | A i ] · Pr [ A i ]

∑ n

j=1 Pr [B | A _j ] Pr [A _j ] .

(14)

Satz von Bayes (Forts.)

Satz 3.9 (Satz von Bayes) Für eine unendliche Folge von paarweise disjunkten Ereignissen A 1 , A 2 , . . . mit B ⊆ ∪ _∞

i=1 A i gilt analog, dass Pr [ A _i | B] = Pr [ B | A i ] Pr [A i ]

Pr [B ]

= Pr [ B | A _i ] · Pr [ A _i ]

∑ _∞

j=1 Pr [B | A j ] Pr [A j ] .

(15)

Unabhängige Ereignisse

Definition 4.1 (Unabhängigheit) Die Ereignisse A und B sind unabhängig, falls

Pr [A ∩ B] = Pr [ A] Pr [B ] gilt.

Konsequenz: Für zwei unabhängige Ereignisse A und B gilt:

Pr [ A | B] = Pr [A] .

(16)

Unabhängige Ereignisse (Forts.)

Definition 4.3 (Unabhängigkeit) Die Ereignisse A 1 , . . . , A n sind unabhängig, wenn für alle Teilmengen S ⊆ { 1, . . . , n } gilt, dass

Pr [ ∩

i ∈ S

A i

]

= ∏

i ∈ S

Pr [A i ] .

(17)

Eine nützliche Eigenschaft

Notation: A ⁰ = A und A ¹ = A.

Satz 4.4 Seien A 1 , . . . , A n beliebige Ereignisse. Sei k ∈ { 1, . . . , n } und sei { i ₁ , . . . , i _k } ⊆ { 1 , . . . , n } eine beliebige Auswahl von Indizes.

Angenommen, für alle (b ₁ , . . . , b _n ) ∈ { 0, 1 } ⁿ gilt:

Pr [

A ^b ₁

¹

∩ . . . ∩ A ^b _n

ⁿ

]

= Pr [ A ^b ₁

¹

]

· . . . · Pr [ A ^b _n

ⁿ

]

.

Dann gilt für alle (b _i

₁

, . . . , b _i

_k

) ∈ { 0 , 1 } ^k , dass Pr [

A ^b _i

₁ⁱ¹

∩ . . . ∩ A ^b _i

_k^ik

]

= Pr [ A ^b _i

₁ⁱ¹

]

· . . . · Pr [ A ^b _i

_k^ik

]

.

(18)

Nachweis der Unabhängigkeit von Ereignissen

Satz 4.5 Die Ereignisse A ₁ , . . . , A _n sind genau dann unabhängig, wenn für alle (b ₁ , . . . , b _n ) ∈ { 0, 1 } ⁿ gilt, dass

Pr [

A ^b ₁

¹

∩ . . . ∩ A ^b _n

ⁿ

]

= Pr [ A ^b ₁

¹

]

· . . . · Pr [ A ^b _n

ⁿ

]

,

wobei A ⁰ _i = A _i und A ¹ _i = A _i .

(19)

Kombination von unabhängigen Ereignissen

Satz 4.6 Sind A, B und C unabhängige Ereignisse, dann sind auch

A ∩ B und C bzw. A ∪ B und C unabhängige Ereignisse.

(20)

Zufallsvariablen

Zufallsvariable

Definition 5.1 (Zufallsvariable) Gegeben ist ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ereignisraum Ω.

Eine Abbildung X : Ω 7→ R heißt Zufallsvariable (über Ω ). Eine

Zufallsvariable X über einer endlichen und abzählbar unendlichen

Ergebnismenge Ω heißt diskret.

(21)

Zufallsvariablen

Bedingte Zufallsvariable

Definition 5.2 (Bedingte Zufallsvariable) Sei X eine

Zufallsvariable und A ein Ereignis mit Pr [A] > 0. Die bedingte Zufallsvariable X | A besitzt die Dichte

f _X _| _A (x) = Pr [ X = x | A] = Pr [

X ⁻¹ (x) ∩ A ]

Pr [ A] .

(22)

Zufallsvariablen

Dichte und Verteilung einer Zufallsvariablen

Definition 5.3 (Dichte und Verteilung) Sei X eine diskrete Zufallsvariable über dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω.

Die Dichtefunktion (kurz: Dichte) von X ist die Funktion f _X : R 7→ [0; 1] mit

f X (x) = Pr [X = x] = ∑

ω∈ X

⁻¹

(x)

Pr [ ω] .

Die Verteilungsfunktion (kurz: Verteilung) von X ist die Funktion F X : R 7→ [0; 1] mit

F _X (x) = Pr [X ≤ x] = ∑

x

^′

≤ x

Pr [X = x ^′ ] .

(23)

Zufallsvariablen

Beispiel: Summe zweier Würfel

Dichte der Augensumme zweier Würfel

(24)

Zufallsvariablen

Beispiel: Summe zweier Würfel (Forts.)

Verteilung der Augensumme zweier Würfel

(25)

Zufallsvariablen

Kombination Zufallsvariable und Funktion

Satz 5.7 Sei X eine Zufallsvariable über dem

Wahrscheinlichkeitsraum Ω und sei f : R 7→ R eine beliebige

Abbildung. Dann ist f(X) eine Zufallsvariable über Ω.

(26)

Erwartungswert

Definition 6.1 (Erwartungswert) Der Erwartungswert Exp [X]

einer diskreten Zufallsvariablen X ist definiert als Exp [X] = ∑

x ∈ W

X

x · Pr [ X = x]

= ∑

x ∈ W

X

x · f X (x)

vorausgesetzt die obige Summe konvergiert absolut.

(27)

Erwartungswert

Berechnung von Erwartungswerten

Satz 6.4 Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Sei A 1 , . . . , A n eine Partition des Ereignisraums Ω.

Angenommen, es gilt Pr [A i ] > 0 für alle i ∈ { 1, . . . , n } . Dann ist:

Exp [X] =

∑ n i=1

Exp [X | A i ] · Pr [ A i ] .

(28)

Erwartungswert

Berechnung von Erwartungswerten (Forts.)

Satz 6.4 (Variante 2) Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Sei A ₁ , A ₂ , A ₃ , . . . eine Partition des Ereignisraums Ω.

Angenommen, es gilt Pr [A i ] > 0 für alle i ∈ { 1, 2, 3, . . .} , die Erwartungswerte Exp [X | A _i ] existieren und die Summe

∑ _∞

i=1 Exp [X | A _i ] · Pr [A _i ] konvergiert.

Dann ist:

Exp [X] =

∑ ∞ i=1

Exp [X | A i ] · Pr [ A i ] .

(29)

Erwartungswert

Berechnung von Erwartungswerten (Forts.)

Satz 6.6 Sei X eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert existiert.

Dann gilt:

Exp [X] = ∑

ω ∈ Ω

X(ω) · Pr [ω ] .

(30)

Erwartungswert

Monotonie des Erwartungswerts

Satz 6.7 (Monotonie des Erwartungswerts) Seien X und Y Zufallsvariablen über dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω.

Falls für alle ω ∈ Ω die Ungleichung X(ω) ≤ Y(ω) gilt, dann gilt

Exp [X] ≤ Exp [Y].

(31)

Erwartungswert

Linearität des Erwartungswerts

Satz 6.8 (Linearität des Erwartungswerts) Sei X eine Zufallsvariable und seien a, b ∈ R beliebige Zahlen.

Dann gilt:

Exp [a · X + b] = a · Exp [X] + b.

(32)

Erwartungswert

Nochmals Berechnung von Erwartungswerten

Satz 6.9 Sei X eine Zufallsvariable mit W X ⊆ N 0 . Dann gilt:

Exp [X] =

∑ ∞ i=0

Pr [ X ≥ i ] .

(33)

Erwartungswert

Linearität des Erwartungswerts

Satz 6.10 (Linearität des Erwartungswerts) Seien X ₁ , . . . , X _n Zufallsvariablen und a 1 , . . . , a n ∈ R beliebige Zahlen.

Für die Zufallsvariable X = a ₁ X ₁ + . . . + a _n X _n gilt:

Exp [X] = a ₁ · Exp [X ₁ ] + . . . a _n · Exp [X _n ] .

(34)

Erwartungswert

Multipikativität des Erwartungswerts

Satz 6.12 (Multiplikativität des Erwartungswerts) Für unabhängige Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n gilt

Exp [X ₁ · . . . · X _n ] = Exp [X ₁ ] · . . . · Exp [X _n ] .

(35)

Varianz und Standardabweichung

Definition 7.2 (Varianz) Sei X eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ = Exp [X].

Die Varianz Var [X] von X ist definiert als Var [X] = Exp [

(X − µ) ² ]

= ∑

x ∈ W

X

(x − µ) ² · Pr [ X = x] .

Definition 7.3 (Standardabweichung) Die Standardabweichung (Streuung) von X ist definiert als

σ X = √

Var [X].

(36)

Berechnung der Varianz

Satz 7.6 Für eine beliebige Zufallsvariable X gilt Var [X] = Exp [

X ² ]

− Exp [X] ² .

(37)

Varianz einer linearen Funktion

Satz 7.8 Für eine beliebige Zufallsvariable X und a, b ∈ R gilt

Var [a · X + b] = a ² · Var [X] .

(38)

Varianz unabhängiger Zufallsvariablen

Satz 7.10 Seien X 1 , . . . , X n unabhängige Zufallsvariablen. Sei X = X 1 + . . . + X n . Dann gilt:

Var [X] = Var [X ₁ ] + . . . + Var [X _n ] .

(39)

Diskrete Verteilungen Gleichverteilung

Gleichverteilung

Eine Zufallsvariable X mit W X = { 1, 2, . . . , n } , n ∈ N , ist gleichverteilt, falls

f X (k) = 1 n für alle k ∈ { 1, 2, . . . , n } .

Es gilt:

• Exp [X] = ⁿ⁺¹ ₂

• Var [X] = ⁿ

²

₁₂ ⁻¹

(40)

Diskrete Verteilungen Gleichverteilung

Bernoulli-Verteilung

Eine Zufallsvariable X mit W _X = { 0, 1 } ist Bernoulli-verteilt mit dem Parameter p, 0 ≤ p ≤ 1, symbolisch X ∼ Ber(n, p), falls

f _X (x) =

{ p x = 1, 1 − p x = 0.

Es gilt:

• Exp [X] = p

• Var [X] = p − p ²

(41)

Diskrete Verteilungen Binomialverteilung

Binomialverteilung

Eine Zufallsvariable X mit W X = { 0, 1, 2, . . . , n } ist binomialverteilt mit den Parametern n und p, symbolisch X ∼ Bin(n, p), falls

Pr [X = k] = ( n

k )

p ^k (1 − p) ^n−k für alle k = 0, 1, 2, . . . , n.

Es gilt:

• Exp [X] = n · p

• Var [X] = n · p · (1 − p)

(42)

Binomialverteilung (Forts.)

(43)

Binomialverteilung (Forts.)

Satz 9.1 Wenn X ∼ Bin(n _X , p) und Y ∼ Bin(n _Y , p), dann gilt für

Z = X + Y, dass Z ∼ Bin(n X + n Y , p).

(44)

Diskrete Verteilungen Geometrische Verteilung

Geometrische Verteilung

Eine Zufallsvariable X mit W _X = N ist geometrisch verteilt mit dem Parameter p, symbolisch X ∼ Geo(p), falls

Pr [X = k] = (1 − p) ^k−1 · p für alle k ∈ N .

Es gilt:

• Exp [X] = ¹ _p

• Var [X] = ^1−p _p

2

(45)

Geometrische Verteilung (Forts.)

(46)

Geometrische Verteilung (Forts.)

Satz 9.2 (Gedächtnislosigkeit) Falls X ∼ Geo(p), dann gilt

Pr [ X > y + x | X > x ] = Pr [ X > y] .

(47)

Diskrete Verteilungen Poisson Verteilung

Poisson Verteilung

Eine Zufallsvariable X mit W _X = N 0 ist Poisson verteilt mit dem Parameter λ, symbolisch X ∼ Poi(λ), falls

Pr [ X = k] = e ^−λ λ ^k k!

für alle k ∈ N 0 . Es gilt:

• Exp [X] = λ

• Var [X] = λ

(48)

Poisson Verteilung (Forts.)

(49)

Poisson Verteilung (Forts.)

Gesetz der seltenen Ereignisse: Für alle λ ∈ N gilt:

n lim →∞

( n k

) ( λ n

) k ( 1 − λ

n ) n−k

= λ ^k

k! e ^−λ

(50)

Poisson Verteilung (Forts.)

Satz 9.5 Summe von Poisson Verteilungen Seien X ₁ , . . . , X _n unabhängige Zufallsvariablen, wobei X _i ∼ Poi(λ _i ) für alle i = 1, . . . , n.

Sei X = X 1 + . . . + X n . Dann gilt: X ∼ Poi(λ 1 + . . . + λ n ).

(51)

Diskrete Verteilungen Hypergeometrische Verteilung

Hypergeometrische Verteilung

Seien N, M, n näturliche Zahlen mit der Eigenschaft M ≤ N und n ≤ N.

Die Zufallsvariable X ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, M und n (symbolisch: X ∼ Hyp(N, M, n)), falls

Pr [ X = k] = ( _M

k

)( _N−M

n−k

) ( _N

n

)

für alle k ∈ { 0 , 1 , . . . , n } . Es gilt:

• Exp [X] = ⁿ ^· _N ^M

• Var [X] = ⁿ ^· ^M (

1 − ^M ) _N−n

(52)

Diskrete Verteilungen Hypergeometrische Verteilung

Hypergeometrische Verteilung (Forts.)

(53)

Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten Markov Ungleichung

Markov Ungleichung

Satz 10.1 (Markov Ungleichung) Sei X eine Zufallsvariable, die nur nicht-negative Werte annimmt.

Dann gilt für alle t ∈ R mit t > 0, dass Pr [ X ≥ t ] ≤ Exp [X]

t . Äquivalent:

Pr [ X ≥ t · Exp [X]] ≤ 1

t .

(54)

Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten Ungleichung von Chebyshev

Ungleichung von Chebyshev

Satz 10.2 (Ungleichung von Chebyshev) Sei X eine Zufallsvariable und t ∈ R mit t > 0.

Dann gilt

Pr [ | X − Exp [X] | ≥ t ] ≤ Var [X]

t ² .

(55)

Stetige Zufallsvariablen Einführendes Beispiel

Beispiel Glücksrad

4 8 5 1 2

10

7

12 6 11 9

3 ϕ

(56)

Stetige Zufallsvariablen Definition

Stetige Zufallsvariable

Definition 11.2 (Stetige Zufallsvariable)

Eine stetige Zufallsvariable X ist definiert durch eine integrierbare Dichtefunktion f X : R 7→ R ⁺ 0 mit der Eigenschaft

∫ _∞

−∞

f _X (x) dx = 1.

Die zu f _X gehörende Verteilungsfunktion F _X ist definiert als F _X (x) = Pr [X ≤ x] =

∫ _x

− ∞

f _X (t) dt

(57)

Stetige Zufallsvariablen Definition

Ereignis

Definition 11.3 (Ereignis) Sei X eine stetige Zufallsvariable.

Eine Menge A ⊆ R , die durch Vereinigung A = ∪

k I _k abzählbar vieler paarweise disjunkter Intervalle beliebiger Art (offen, halboffen,

geschlossen, einseitig unendlich) gebildet werden kann, heißt Ereignis.

Das Ereignis A tritt ein, wenn X einen Wert aus A annimmt. Die Wahrscheinlichkeit von A ist definiert als

Pr [A ] =

∫

A

f _X (x) dx = ∑

k

∫

I

_k

f _X (x) dx.

(58)

Stetige Zufallsvariablen Erwartungswert und Varianz

Erwartungswert und Varianz

Definition 11.7 (Erwartungswert und Varianz)

Sei X eine stetige Zufallsvariable. Der Erwartungswert von X ist Exp [X] =

∫ _∞

− ∞

t · f X (t) dt, falls das Integral ∫ _∞

− ∞ | t | · f _X (t) dt endlich ist.

Die Varianz von X ist

Var [X] = Exp [

(X − Exp [X]) ² ]

=

∫ _∞

− ∞

(t − Exp [X]) ² f X (t) dt, wenn Exp [

(X − Exp [X]) ² ]

existiert.

(59)

Stetige Zufallsvariablen Erwartungswert und Varianz

Formel zur Berechnung des Erwartungswerts

Satz 11.8 Sei X eine stetige Zufallsvariable und sei g : R 7→ R eine Abbildung. Für die Zufallsvariable Y = g(X) gilt:

Exp [Y] =

∫ _∞

− ∞

g(t) · f X (t) dt.

(60)

Stetige Verteilungen Gleichverteilung

Gleichverteilung

Die stetige Zufallsvariable X ist gleichverteilt über dem Intervall [a, b], wobei a < b, falls sie die Dichte

f _X (x) = { 1

b−a x ∈ [a; b], 0 sonst.

besitzt. Die entsprechende Verteilung ist:

F X (x) =

 



 

0 x < a ,

x−a

b−a a ≤ x ≤ b , 1 x > b . Es gilt:

• Exp [X] = ^a+b ₂

• Var [X] = ^(a−b)

²

(61)

Stetige Verteilungen Normalverteilung

Normalverteilung

Eine stetige Zufallsvariable X ist normalverteilt mit den Parametern µ ∈ R und σ ∈ R , symbolisch X ∼ N (µ, σ ² ), falls sie die Dichte

f X (x) = 1

√ 2πσ ² · exp (

− (x − µ) ² 2σ ²

)

besitzt. Hierbei ist exp(x) = e ^x . Anstatt f _X (x) schreibt man auch φ(x ; µ, σ).

N (0, 1) nennt man die Standardnormalverteilung.

(62)

Normalverteilung (Forts.)

Die Verteilungsfunktion von X ∼ N (µ, σ ² ) ist

Φ(x; µ, σ) = 1

√ 2πσ ²

∫ x

−∞

exp (

− (t − µ) ² 2 σ ²

) dt

Diese Funktion nennt man Gauß’sche Phi-Funktion. Falls µ = 0 und σ = 1, dann schreibt man kurz Φ(x).

Es gilt:

• Exp [X] = µ

• Var [X] = σ ²

(63)

Normalverteilung (Forts.)

(64)

Transformation einer Normalverteilung

Satz 12.2 Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit X ∼ N (µ, σ ² ).

Dann gilt für beliebige a ∈ R − { 0 } und b ∈ R , dass Y = aX + b

normalverteilt ist mit Y ∼ N (a µ + b , a ² σ ² ).

(65)

Additivität der Normalverteilung

Satz 12.5 (Additivität der Normalverteilung) Die

Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n seien unabhängig und normalverteilt mit den Parametern µ i und σ i für i = 1 , . . . , n.

Dann ist die Zufallsvariable

Z = a 1 X 1 + . . . + a n X n

normalverteilt mit Erwartungswert µ = a ₁ µ 1 + . . . + a _n µ n und

Varianz σ ² = a ² ₁ σ ² ₁ + . . . + a ² _n σ ² _n .

(66)

Stetige Verteilungen Exponentialverteilung

Exponentialverteilung

Eine Zufallsvariable X ist exponentialverteilt mit Parameter λ ∈ R , symbolisch X ∼ EX P ( λ ), falls sie die Dichte

f X (x) = {

λ · e ^−λx x ≥ 0 ,

0 sonst

besitzt.

Die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariable X ist für x ≥ 0

F _X (x) =

∫ x 0

αe ^−λt dt = 1 − e

^−λx

.

Für x < 0 ist F _X (x) = 0.

(67)

Exponentialverteilung (Forts.)

Angenommen, X ∼ Exp(λ).

Dann gilt:

• Exp [X] = ¹ _λ

• Var [X] = _λ ¹

2

(68)

Exponentialverteilung (Forts.)

(69)

Multiplikation mit einer Konstanten

Satz 12.7 Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter λ .

Für jedes a > 0 ist die Zufallsvariable Y = aX exponentialverteilt mit

Parameter ^λ _a .

(70)

Gedächtnislosigkeit

Satz 12.8 (Gedächtnislosigkeit) Eine stetige Zufallsvariable X mit Wertebereich R ⁺ ist genau dann exponentialverteilt, wenn für alle x, y > 0 gilt:

Pr [ X > x + y | X > y ] = Pr [ X > x] .

(71)

Minimum exponentialverteilter Zufallsvariablen

Satz 12.9 Gegeben sind die paarweise unabhängigen Zufallsvariablen X ₁ , . . . , X _n .

Angenommen, X i ist exponentialverteilt mit Parameter λ i für i = 1, . . . , n.

Dann ist die Zufallsvariable X = min { X ₁ , . . . , X _n } exponentialverteilt

mit dem Parameter λ 1 + . . . + λ n .

(72)

Grenzwertsätze Der Zentrale Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz

Satz 13.1 (Zentraler Grenzwertsatz) Angenommen, die Zufallsvariablen X ₁ , . . . , X _n besitzen jeweils dieselbe Verteilung und seien unabhängig. Erwartungswert und Varianz von X i existieren für i = 1 , . . . , n und seien mit µ bzw. σ ² bezeichnet, wobei σ ² > 0 gelten soll.

Betrachte die Zufallsvariablen Y n = X 1 + . . . + X n für n ≥ 1.

Es gilt: Die Folge der Zufallsvariablen Z _n = Y n − nµ

√ σ ² n

konvergiert gegen die Standardnormalverteilung. Formal: Für alle x ∈ R gilt:

n lim →∞ Pr [Z _n ≤ x ] = Φ(x).

(73)

Grenzwertsätze Grenzwertsatz von DeMoivre

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