R , ferner ∅ 6= X ⊆ G, und X sei offen in G. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:

(1)

Prof. T. Grundhöfer, PD N. Rosehr Sommersemester 2014

Übungen zur Lie-Theorie

Blatt 2

7. Sei G eine Untergruppe von GL

n

R , ferner ∅ 6= X ⊆ G, und X sei offen in G. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:

(a) Die von X erzeugte Untergruppe hXi ist offen und abgeschlossen in G.

(b) Ist G wegzusammenhängend, so gilt hXi = G.

8. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen über die Hamiltonschen Quaternionen H ; dabei ist R mit dem Teilkörper {r · 1 | r ∈ R } von H identifiziert.

(a) R ist das Zentrum von H , und V := {x ∈ H | 0 ≥ x

²

∈ R } ist ein reeller Unterraum von H mit H = R ⊕ V .

(b) Jeder Automorphismus und jeder Antiautomorphismus von H ist R -linear und lässt V und die euklidische Bilinearform f (x, y) =

¹₂

(x¯ y + y¯ x) auf H ∼ = R

⁴

invariant.

(c) Die Automorphismengruppe von H besteht aus inneren Automorphismen und ist iso- morph zur Faktorgruppe H

^∗

/ R

^∗

und zu SO

₃

R .

Hinweis: für 0 6= a ∈ V hat der innere Automorphismus x 7→ a

⁻¹

xa die Ordnung 2;

vgl. Aufgabe 2(c).

(d) Die multiplikative Gruppe H

^∗

ist das direkte Produkt der zwei Untergruppen {r ∈ R | r > 0} und SU

2

C , und die Faktorgruppe SU

2

C/h−idi ist isomorph zu SO

3

R . Ferner gilt SU

2

C = U

1

H = SL

1

H .

9. (a) Bestimmen Sie alle abgeschlossenen Untergruppen der Kreislinie S

1

= U

₁

C ≤ GL

₁

C . (b) Zeigen Sie: für t ∈ Q ist die Gruppe

U

_t

:= e

^ir

0 0 e

^itr

r ∈ R

≤ GL

₂

C

abgeschlossen in der Gruppe S

1

× S

1

aller Matrizen

₀^c⁰_d

mit c, d ∈ S

1

, kompakt und isomorph zu R / Z .

(c) Zeigen Sie: für t ∈ R \ Q ist die Gruppe U

t

wie in (b) eine echte dichte Untergruppe von S

1

× S

1

und isomorph zu ( R , +).

10. Beweisen Sie, dass die diagonalisierbaren Matrizen in C

^n×n

eine dichte Teilmenge von C

^n×n

bilden, und dass die entsprechende Aussage für reelle Matrizen falsch ist.

(2)

11. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen über reelle Matrizen A, B ∈ R

^n×n

und eine beliebige Matrixnorm k · k:

(a) Für k ∈ N und kAk, kBk ≤ C ∈ R gilt kA

^k

− B

^k

k ≤ kC

^k−1

kA − Bk.

(b) Für kAk, kB k ≤ C ∈ R gilt k exp A − exp B k ≤ e

^C

kA − Bk. Insbesondere ist die Exponentialabbildung exp : R

^n×n

→ R

^n×n

stetig.

(c) det(exp A) = e

^SpurA

. (d) exp A = lim

k→∞

1 + 1

k A

k

.

12. (a) Sei k ∈ N und sei f : R

^n×n

→ R

^n×n

durch f (X) = X

^k

definiert. Zeigen Sie, dass die Ableitung von f an der Stelle A ∈ R

^n×n

durch f

⁰

(A)(X) = P

k−1

j=0

A

^j

XA

^k−1−j

für X ∈ R

^n×n

gegeben ist.

(b) Zeigen Sie, dass die Ableitung von exp : R

^n×n

→ R

^n×n

an der Stelle A durch

exp

⁰

(A)(X) =

∞

X

k=1

1 k!

k−1

X

j=0

A

^j

XA

^k−1−j

gegeben ist.

Die Übungen zur Vorlesung werden von Nils Rosehr geleitet und finden mittwochs ab 8:30 Uhr im BSZ S0.102 statt.

Bitte lösen Sie alle Aufgaben. Abgabe Ihrer schriftlichen Lösungen zu den Aufgaben 9 und 11 am Mittwoch, dem 7. Mai in den Übungen. Maximal zwei Übungsteilnehmer dürfen zusammen ein Lö- sungsblatt erstellen. Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen auf Ihr Lösungsblatt.

Die Übungsblätter gibt es auch unter http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼rosehr.