Topologische Gruppen 6. Übungsblatt

Topologische Gruppen 6. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik WS 2011/2012

Dr. Andreas Mars 17.01.2012

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Integrale)

SeiGkompakte abelsche Gruppe,χ∈Gˆein nicht-trivialer Charakter und seiµdas Haar-Maß vonG. Zeigen Sie:

Z

G

χ(g)dµ(g) =0.

Was ist der Wert vonR

Gχ(g)dµ(g), fallsχtrivial ist?

Aufgabe G2 (Dividierbarkeit)

Sei _p¹_∞Zdie additive Untergruppe vonQ, bestehend aus allen Elementen der Form _p^mn, wobeim∈Z,n∈N. Definiere nunZ(p^∞):= _p¹∞Z/Z. Zeigen Sie:Z(p^∞):= _p¹∞Z/Zist dividierbar.

Hinweis:Zeigen Sie, dass jedes Element inZ(p^∞)von Ordnungp^mfür einmist. Zeigen Sie dann, dass die Gleichung p^kx=ginZ(p^∞)für alleg∈Glösbar ist. Zeigen Sie schließlich, dass in einer endlichen abelschen Gruppe der Ordnung mzu jedemnmitggT(n,m) =1die Gleichungnx=glösbar ist. Warum sind Sie nun fertig?

Definition:Fürpprim heißtZ(p^∞)Prüfer-Gruppe.

Aufgabe G3 (Mehr Hüte)

Seiϕ:A→Bein Morphismus. Dann ist der Morphismusϕˆ:Bˆ→Aˆgegeben durchϕ(χ) =ˆ χ◦ϕ.

Zeigen Sie: Für jeden Morphismus f:A→Gˆexistiert ein Morphismus f⁰:G→Aˆmit der Eigenschaft f = ˆf⁰◦ηA. Hinweis:Definieren Sie f⁰(g)(a):= f(a)(g)und wenden Sie die Definitionen an.

Für jeden Morphismus f:G→Aˆexistiert ein Morphismus f⁰:A→Gˆmit der Eigenschaft f = ˆf⁰◦ηG

Hausübung

Aufgabe H1 (Neulich im Hutladen...)

IstAabelsche Gruppe, dann giltηˆA◦ηAˆ=idAˆund für eine kompakte abelsche GruppeGgiltηˆG◦ηGˆ=idGˆ

Aufgabe H2 (Und nochmal Hüte)

IstAabelsch undηAein Isomorphismus, dann istηAˆein Isomorphismus. IstGkompakt abelsch undηGein Isomorphis- mus, dann istηGˆ ein Isomorphismus.

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