Topologische Gruppen 1. Übungsblatt

Topologische Gruppen 1. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik WS 2011/2012

Dr. Andreas Mars 25.10.2011

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Homogene Räume)

(a) Zeigen Sie: Das offene Intervall(0,∞)⊆Rist homogen.

(b) Beweisen oder widerlegen Sie: Das kompakte Einheitsintervall[0, 1]⊆Rist homogen.

Aufgabe G2 (Topologische Gruppen)

(a) Beweisen Sie: Die MatrixgruppenGL_n(R), GLn(C), SLn(R)undSL_n(C), ausgestattet mit der Teilraumtopologie von R^n×nbzw.C^n×nsind topologische Gruppen.

(b) Beweisen Sie, dass alle Gruppen aus (a) abgeschlossene Untergruppen derGL_n(C)sind.

(c) Beweisen Sie, dass fürF∈ {R,C}die GruppeGL_n(F)offen inF^n×nist, währendSL_n(F)inF^n×nabgeschlossen ist.

(d) Zeigen Sie: Eine GruppeGmit einer TopologieτaufGist eine topologische Gruppe genau dann, wenn die Abbil- dung

G×G→G (g,h)7→gh⁻¹

stetig bzgl.τist.

(e) SeiH≤Geine offene Untergruppe. Beweisen oder widerlegen Sie:Hist eine abgeschlossene Untergruppe.

Aufgabe G3 (Untergruppen und Quotienten) Zeigen Sie:

(a) SeiH≤GUntergruppe einer topologischen GruppeG. Dann ist die Abbildung (g,g⁰H)7→g g⁰H

stetig im zweiten Argument.

(b) Der QuotientG/H ist Hausdorffsch genau dann, wennH abgeschlossen ist. Unter welchen Bedingungen anH ist der QuotientG/Hselbst eine topologische Gruppe?

Aufgabe G4 (Topologische Mannigfaltigkeiten)

Zeigen Sie Proposition 1.6 aus der Vorlesung: Eine zusammenhängende Hausdorffsche topologische MannigfaltigkeitX ist homogen. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

(a) Zeigen Sie, dass für je zwei Punktex,yin der offenen Einheitskugel desRⁿein Homöomorphismus der abgeschlos- senen Einheitskugel existiert, derxauf yabbildet und den Rand der Kugel punktweise festhält.

(b) Zeigen Sie, dass für x ∈X undU eine offene Umgebung von x eine offene UmgebungV von x mitV ⊆U und folgender Eigenschaft exitiert: Es gibt für allev ∈V einen Homöomorphismus f:V →V mit f(x) =v, der sich auf ganzX fortsetzen lässt.

(c) Für beliebigex,y∈Xgibt es eine kompakte ’Strecke’, die sie verbindet. Warum liefert uns (ii) nun das Gewünschte?

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Hausübung

Aufgabe H1 (Nochmal topologische Gruppen) Zeigen Sie:

(a) Der TorusT:={z∈C| |z|=1}mit der gewöhnlichen komplexen Multiplikation sowie der Teilraumtopologie von Cist eine topologische Gruppe.

(b) Der RaumR/Zist mit der Operation(x,y)7→x+y(mod1)eine topologische Gruppe.

(c) Die Exponentialfunktionexp:R/Z→T,x7→e^{2πi x} ist ein Gruppenhomomorphismus, und sie ist stetig, bijektiv und offen.

Aufgabe H2 (Konstruktion von topologischen Gruppen) Beweisen Sie Proposition 2.6 aus der Vorlesung:

(a) IstH≤GUntergruppe einer topologischen Gruppe, dann istHeine topologische Gruppe mit der Teilraumtopologie.

(b) Sei{G_i}i∈I eine Familie von topologischen Gruppen. Dann istQ

i∈IG_ieine topologische Gruppe mit der Produktto- pologie.

(c) IstNÃGNormalteiler einer topologischen Gruppe, dann istG/N mit der Quotiententopologie eine topologische Gruppe. Sie istT₂genau dann wennN=N.

Aufgabe H3 (Ein Quotient)

Wir betrachten die additive GruppeR, ausgestattet mit der gewöhnlichen Topologie undQ⊆Rmit der Teilraumtopolo- gie. DaRabelsch ist, istQeine normale Untergruppe und wir können die GruppeG:=R/Qbetrachten.

(a) Gist eine topologische Gruppe. Ist sie Hausdorff,T₁und/oderT₀? (b) Zeigen Sie: die Gruppe{1}liegt dicht inG.

Hinweis: Vergleichen SieG/{1}mit der GruppeR/Q. Was fällt Ihnen auf?

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