Topologische Gruppen 5. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2011/2012
Dr. Andreas Mars 20.12.2011
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Zum Warmwerden)
Beweisen oder widerlegen Sie: Die Funktionφ7→R1
0φ(x)d xist ein Haar-Integral aufR. Aufgabe G2 (Unimodularität)
SeiGdie Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen inGL2(R). Zeigen Sie, dassGnicht unimodular ist.
Hinweis:Was passiert bei Konjugation?
Zeigen Sie: Jede diskrete Gruppe ist unimodular (vgl. Satz 4.22 (iv)).
Hinweis:Wie sieht das Haar-Maß auf einer diskreten Gruppe aus?
Aufgabe G3 (Anwendung des Haar-Integrals)
SeiGlokalkompakt undλein Haar-Integral aufG. Wir betrachten hier den RaumCcC(G):={ϕ+iψ|ϕ,ψ∈Cc(G)}und die natürliche Erweiterung vonλdarauf. Zeigen Sie:
Die Abbildung
〈·,·〉:CcC(G)×CcC(G)→C (ϕ,ψ)7→λ(ϕψ)
ist ein unitäres Skalarprodukt auf dem RaumCcC(G)und die Transformationϕ7→ϕgist eine unitäre Transformation für jedesg∈G.
Also ist die Vervollständigung des Raumes(CcC(G),〈·,·〉)ein Hilbertraum undG erlaubt eine unitäre Darstellung auf diesem Raum.
Aufgabe G4 (Charaktergruppen)
Berechnen Sie die Charaktergruppe vonT.
Frohe Weihnachten!
1
