Topologische Gruppen 7. Übungsblatt

Topologische Gruppen 7. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik WS 2011/2012

Dr. Andreas Mars 31.01.2012

Gruppenübung

Aufgabe G1 (Projektiver Limes)

SeiP ={f_jk:G_k → G_j} ein projektives System topologischer Gruppen mit Grenzmorphismen f_j: lim_←G_j =G → G_j. EinKegelüberP ist eine topologische GruppeC mit einem kommutierenden Diagramm von Morphismenγj:C →G_j topologischer Gruppen, so dass j≤kdie Gleichungγj=f_jk◦γkimpliziert.

C

γ

γj

γk

8

88 88 88 88 88 88 88 88 G=lim_←G_j

f_j

zztttttttttt

f_k

$$J

JJ JJ JJ JJ J

. . .oo G_j G_k

f_jk

oo . . .oo

(a) Zeigen Sie (bzw. besser: Machen Sie sich klar, dass . . . ): Die GruppeG mit den Grenzmorphismen f_j:G →G_j ist ein Kegel überP.

(b) Weisen Sie nach, dass man mitC:={1}und den offensichtlichen Morphismenγjebenfalls einen Kegel erhält.

(c) Beweisen Sie die folgende universelle Eigenschaft des projektiven Limes: Ist{γj:C → G_j} ein Kegel überP, so existiert ein eindeutiger Morphismusγ:C→G=lim_←G_jmitγj=f_j◦γ.

Aufgabe G2 (Kompakte Lie-Gruppen) Zeigen Sie:

(a) Jede endliche Gruppe ist eine kompakte Lie-Gruppe.

(b) Ein endliches direktes Produkt kompakter Lie-Gruppen ist eine kompakte Lie-Gruppe.

(c) Eine abgeschlossene Untergruppe einer kompakten Lie-Gruppe ist eine kompakte Lie-Gruppe.

Aufgabe G3 (Dividierbarkeit)

SeiAabelsche Gruppe. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen:

(a) Aist dividierbar.

(b) Für jedesa∈Aexistiert ein Homomorphismusf:Q→Amit f(1) =a.

Aufgabe G4 (Dualität)

Versuchen Sie sich an folgender Aussage: Ist f:A→Bein Morphismus, so kommutiert das folgende Diagramm.

A

f

ηA //Aˆˆ

ˆˆ

f

B _η

B //Bˆˆ

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