Kryptographie Blatt 4, 11.05.2007, Abgabe 18.05.2007

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2007 Kryptographie

Blatt 4, 11.05.2007, Abgabe 18.05.2007

Aufgabe 1. Seien X ₁ , . . . , X _i , . . . ∈ _D {0, 1} unabh. Zufallsvariable mit Pr D [X i = 1] = ε. Zeige für u := min{i | X i = 1} und kε ⁻¹ ∈ N:

1. 0 < Ws[u ≤ kε ⁻¹ ] = 1 − (1 − ε) ^kε

= 1 − e ^−k + O(ke ^−k ε) . 2. 0 < e ⁻

− Ws[u > ε ⁻¹ /k] = O(e ⁻

ε).

Benutze dass 0 < e ^±1 − (1 ± ¹ _n ) ⁿ = O( _n ¹ ) .

Aufgabe 2. Sei E _a,b ( K ) elliptische Kurve . Zeige:

1. für alle (¯ x, y) ¯ ∈ E a,b (K): ord(¯ x, y) = 2 ¯ gdw x ¯ ³ + a¯ x + b = 0.

2. E _a,b ( K ) zyklisch = ⇒ # Nullstellen von x ³ + ax + b = 0 ist ≤ 1 . 3. |E _a,b ( K )| ist ungerade gdw x ³ + ax + b keine Nullstelle in K hat.

Aufgabe 3. Sei q prim. Zeige:

1. |E _0,b ( Z q )| = q + 1 für q = 2 mod 3 , b ∈ Z ^∗ q .

2. |E _a,0 (Z q )| = q + 1 für q = 3 mod 4, a ∈ QR q = (Z ^∗ _q ) ² .

Hinweis: x 7→ x ³ ist Bijektion von Z q für q = 2 mod 3 , −1 6∈ ( Z ^∗ _q ) ² für q = 3 mod 4 . 2. gilt für beliebige a ∈ Z ^∗ q .

Aufgabe 4. Die Schnorr Signaturen (c i , y i ) zur Nachricht m i seien nach Vorschrift mit r _i ∈ Z ^∗ q für i = 1, ..., t zum Schlüssel x, h = g ^x erzeugt. Zeige:

Kennt man zu (c i , y i , m i ) i = 1, . . . , t die Koezienten a 0 , ..., a t einer Glei- chung P ^t

i=1

a _i r _i = a ₀ so erhält man x = log _g h sofern P t

i=1 a _i c _i 6= 0 .

Hinweis: g ^r

= g ^y

h ^−c

.