Mathe Club 6-8

Mathe Club 6-8

Thomas Krakow

Rostock, den 4. Oktober 2006

Inhaltsverzeichnis

1 Mengen und Abbildungen

1.1 Mengen

Oft möchte man Dinge zusammenfassen die eine bestimmte Eigenschaft besitzen. In der Mathematik fasst man diese Dinge zu einer Menge zusammen. Man spricht dann von der Menge aller Dreiecke in der Ebene oder der Menge aller durch 17 teilbaren Zahlen.

Nun muss man noch genauer sagen was eine Menge überhaupt ist. Es muss also eine Definition gegeben werden. Dies ist leider nicht ganz einfach, da es bei vielen Versuchen Mengen zu definieren zu Widersprüchen kommt. Wir wählen die Definition von Cantor.

Definition 1 Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedlicher Dinge unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.

Diese Definition führt zu Widersprüchen wie wir später sehen werden. Man kann sich eine Menge am besten als einen Sack vorstellen der irgendwelche Dinge enthält. Ist ein Ding, wir nennen es malxin diesem Sack (Menge), wir nennen ihnM, enthalten, so sagt manx ist ein Element von M und schreibt

x∈M.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten zu sagen was in einer Menge enthalten ist. Sei M unsere Menge und sie soll die Zahlen1,5,7,9enthalten. Man schreibt es dann folgender- maßen

M ={1; 5; 7; 9}

Die Dinge die in die Menge hineinkommen setzt man in geschweifte Klammern. Eine Menge enthält jedes Element höchstens einmal, d.h. die Mengen {1; 2; 2} ist die selbe wie {1; 2}. Es kann auch vorkommen, dass in der Menge M gar kein Element enthalten ist (zu vergleichen mit einem leeren Sack), man sagt dann, dass die Menge leer ist und schreibt

M =∅.

Es ist auch möglich, dass Mengen andere Mengen enthalten, z.B. ist

M ={{1; 2; 3};{a;b};{♣;♠;♥;♦}} selbst wieder eine Menge. Bei der folgenden Menge ist aber Vorsicht geboten,M ={∅}ist die Menge die die leere Menge enthält undM ist dabei selbst nicht leer. Wir müssen noch definieren wann zwei Mengen gleich sind.

Definition 2 Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn ihre Elemente gleich sind.

Es ist beispielsweise

{1; 2; 3}={1; 1; 2; 2; 3}; {a;b; 1}={1;b;a}; {a; 1} 6={aa; 1}.

1.2 Teilmengen, Vereinigungen, Durchschnitte von Mengen

Wir wissen nun was Mengen sind. Bisher können wir mit den Mengen aber noch nicht so richtig arbeiten. Wir müssen aus Mengen irgendwie neue Mengen gewinnen. Um später die Arbeit zu erleichtern führen wir neue Symbole ein. Oft benutzen wir das Wort ”und”

wir schreiben in Zukunft dafür kurz∧, für ”oder” schreiben wir ∨und für ”daraus folgt”

schreiben wir⇒. Wir können nun Teilmengen von Mengen definieren.

Definition 3 (Teilmenge) Eine Menge A ist eine Teilmenge einer Menge B falls,

x∈A⇒x∈B gilt. Man schreibt dann auchA⊂B oder auch A⊆B.

Die Schreibweisex∈A⇒x∈B bedeutet wörtlich übersetzt: wenn xinAist so folgt daraus auch, dassxin B ist. Eine Menge A ist also genau dann Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element welches aus in A ist auch in B ist. Es ist {1; 2; 3} ⊂ {1; 2; 3; 4}

aber{1; 2; 3} 6⊂ {2; 3; 4}

Es gilt immer

∅ ⊂M für jede MengeM.

Mit den neu eingeführten Symbolen können wir nun auch Mengen anders definieren. Wir können einmal die Elemente einer Menge aufzählen wie bei A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Wir können aber auch die Elemente einer Menge durch ihre Eigenschaften beschreiben. Die MengeM = {x : 1≤ x ≤10} ist die Menge aller Zahlen zwischen 1 und 10. Der Teil x : in der Mengenklammer bedeutet ” alle x mit der Eigenschaft . . . ” . Anstatt einen Doppelpunkt kann man auch einen senkrechten Strich ”|” schreiben, das würde dann folgendermaßen aussehen:M ={x|1≤x≤10}.

Definition 4 (Potenzmenge) SeiM eine Menge, die PotenzmengeP(M)ist die Men- ge

P(M) ={A:A⊂M}.

Die Potenzmenge ist also die Menge aller Teilmengen einer Menge. Beispielsweise sei M = {a;b;c}, dann ist P(M) = {∅;{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c}} Für die Potenzmenge einer Menge findet man auch häufig die Bezeichnung2^M.

1.2 Teilmengen, Vereinigungen, Durchschnitte von Mengen

Definition 5 (Vereinigung) Seien A und B Mengen, dann ist

A∪B={x:x∈A∨x∈B}

die Vereinigung der beiden Mengen.

Die Vereinigung zweier Mengen A, B ist also die Menge aller Elemente die in A oder inB enthalten sind. Es ist Beispielsweise{1; 2; 3; 4} ∪ {3; 4; 5; 6}={1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Definition 6 (Durchschnitt) Seien A und B Mengen, dann ist

A∩B={x:x∈A∧x∈B}

der Durchschnitt der beiden Mengen.

Der Durchschnitt zweier Mengen A, B ist also die Menge der Elemente die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Es ist Beispielsweise{1; 2; 3; 4} ∩ {3; 4; 5; 6}={3; 4}.

Definition 7 (Differenz) Seien A und B Mengen, dann ist

A\B ={x:x∈A∧x6∈B}

die Differenz der beiden Mengen.

Man bildet die Differenz A\B also indem man aus A alle Elemente raus nimmt die inB enthalten sind. Beispielsweise ist{1; 2; 3; 4} \ {3; 4; 5; 6}={1; 2}.

Beispiele:

• {x:x ist Primzahl } ∩ {x:x ist gerade}={2}

• {x:x ist Primzahl ⇒x+ 2ist Primzahl} ∩ {x: 0≤x≤10}={3; 5}

• {x: 10≤x≤20} \ {x:x≥15}={x: 10≤x <15}

• A⊂B ⇒A∪B =B∧A∩B =A∧A\B=∅

• {x: 5|x∧6|x}={x: 30|x}

• Sei Ma = {x : a|x}, dann ist Ma∩Mb = {x : a|x∧b|x} = {x : kgV(a, b)|x} = M_kgV(a,b)

1.3 Klassifizierung der Zahlen

Bei späteren arbeiten mit Mengen wird es unumgänglich zu sagen welche Zahlen man meint. Es kann vorkommen, dass man nur Zahlen der Form 1; 2; 3;. . . in einer Menge zulassen möchte oder auch Zahlen der Form 1.123; 3.364564356;√

2 zulassen möchte.

Wir müssen deshalb die verschiedenen Zahlenarten unterteilen.

Definition 8 Die Menge

N={0; 1; 2; 3;. . .}

heißt die Menge der natürlichen Zahlen. Sie wird mit Nbezeichnet.

Die Menge

Z={−3;−2;−1; 0; 1; 2; 3;. . .}

heißt die Menge der ganzen Zahlen. Sie wird mit Z bezeichnet.

Offensichtlich istN⊂Z. Nun können wir beispielsweise für die MengeM ={1; 2; 3; 4; 5}

auch schreiben M ={x :x ∈N∧1 ≤x ≤5}. Die Mengen N und Z sind offensichtlich unendlich¹ Nun müssen wir noch die ”Kommazahlen” klassifizieren.

Definition 9 Die Menge

Q={x

y :x∈Z∧y∈N\ {0}}

heißt die Menge der rationalen Zahlen. Sie wird mitQbezeichnet.

Die Menge

R={x:x∈Z∨x ist eine Kommazahl}

heißt die Menge der reellen Zahlen. Sie wird mit Rbezeichnet.

Die rationalen Zahlen sind also die ganzen Zahlen zusammen mit allen Zahlen die als Bruch geschrieben werden können. Der Rest ist sind die reellen Zahlen. Warum unter- scheidet man aber rationale Zahlen und reelle Zahlen? Es kann doch auch sein, dass Q = R ist. Es kann aber ganz leicht eine Zahl angegeben werden die reell aber nicht rational ist. Eine solche Zahl ist√

2. Wir wollen diese Aussage noch begründen. Ange- nommen es sei√

2∈Q, dann existierenx∈Z, y ∈N\ {0}mit √

2 = ^x_y, wobei der Bruch schon gekürzt ist. Es müsste dann

2 = x²

y² ⇒2y² =x² ⇒2|x⇒x= 2z∧z∈Z⇒2y²= 4z² ⇒y² = 2z²⇒2|y⇒2|x∧2|y was natürlich nicht funktioniert, da ^x_y schon ein gekürzter Bruch ist.

Die MengeR\Qist die Menge der irrationalen Zahlen. Die oben angegebene Definition der reellen Zahlen ist mathematisch nicht korrekt, da der Begriff der Kommazahl in der Mathematik nicht existiert. Die exakte Definition der reellen Zahlen ist sehr kompliziert.

1Ein Ergebnis aus der Mengenlehre sagt sogar das merkwürdige Resultat, dass die Menge Ngenauso groß ist wie die MengeZ.

1.4 Das Prinzip von Inklusion und Exklusion (PIE)

Man macht es mit sogenannten Dedkindschen Schnitten.

Es gilt die folgende Beziehung

N⊂Z⊂Q⊂R

Im folgenden sind noch einige spezielle Teilmengen dieser Zahlen hervorgehoben.

• Z+={x:x∈Z∧x >0}die Menge der positiven ganzen Zahlen

• Q+={x:x∈Q∧x >0} die Menge der positiven rationalen Zahlen

• R+={x:x∈R∧x >0} die Menge der positiven reellen Zahlen

• Z− ={x:x∈Z∧x <0}die Menge der negativen ganzen Zahlen (analog Qund R)

Es sei noch bemerkt, dass die Zahl0 weder positiv noch negativ ist.

1.4 Das Prinzip von Inklusion und Exklusion (PIE)

Das Prinzip von Inklusion und Exklusion ist ein Verfahren für die Bestimmung der Anzahl der Elemente einer Menge. Für die Anzahl der Elemente führen wir noch die folgende Definition ein.

Definition 10 Sei M eine Menge, dann bezeichnet man mit |M| die Anzahl der Ele- mente in M. Man sagt auch die Mächtigkeit der Menge M ist |M|.

Beispiel:

• SeiM ={1; 5; 7; 10; 11}, die Mächtigkeit der MengeM ist dann|M|= 5.

• M ={x:x∈N∧x <100} ⇒ |M|= 100

• M ={x:x ist Primzahl∧x <10} ⇒ |M|= 4

• SeiM ={x:x∈N∧x <10} undM₆ ={A:A⊂M∧ |A|= 3} ⇒ |M|= 120 Ein Grundproblem der Kombinatorik ist es die Mächtigkeiten von bestimmten Mengen zu bestimmen. Es sei mal ein Beispiel angegeben.

Aufgabe: Auf einem Kreuzfahrtschiff sind 100Personen.83 Personen sprechen Eng- lisch und 45 Personen sprechen Französisch. 10 Personen sprechen weder Englisch noch Französisch. Wie viele Personen sprechen Englisch und Französisch?

Um das Problem anzugehen muss man es ersteinmal mathematisch formulieren. Es sei M die Menge aller Personen auf dem Schiff, E die Menge der Personen die Englisch

sprechen, F die Menge der Personen die Französisch sprechen und G die Menge der Personen die weder Englisch noch Französisch sprechen. Aus der Aufgabe ist bekannt, dass |M| = 100,|E| = 83,|F| = 45,|G| = 10. Gesucht ist die Mächtigkeit der Menge der Personen die Englisch und Französisch sprechen, also die Mächtigkeit der Menge E∩F. Jetzt stellt sich nur die Frage wie man auf die Mächtigkeit vonE∩F kommt. Wir müssen also irgendwelche Beziehungen finden zwischen den Mächtigkeiten der Mengen finden. Man kann sich Mengen in einem so genannten Venn-Diagramm veranschaulichen.

Die drei Kreise sollen die MengenE, F, Gdarstellen, die dunkelgrau gekennzeichneten Flächen sind jeweils die Mengen E∩F, E ∩G, F ∩G und die schwarze Fläche stellt die Menge E∩F ∩G dar. Nun fällt es uns auch leicht erste Beziehungen zu erkennen.

Beispielsweise istE∪F = (E\F)∪(E∩F)∪(F\E). Wir wollen nun die Mächtigkeit der Menge E∩F bestimmen. Wir wissen, dass M = E∪F ∪G ist, aber es ist |M| 6=

|E|+|F|+|G|wir haben noch zuviel mitgezählt, nämlich die MengenE∩F, E∩G, F∩G, die MengeE∩F∩Ghaben wir sogar zweimal mitgezählt. Wir müssen diese Mengen also wieder abziehen, also haben wir schon mal|E|+|F|+|G|−|E∩F|−|E∩G|−|F∩G|. Dies ist aber auch noch nichtM, die MengeE∩F∩Gwurde nämlich dreimal hinzugenommen, aber auch dreimal wieder weg genommen, also müssen wir es noch einmal dazu tun und erhalten

|M|=|E∪F∪G|=|E|+|F|+|G| − |E∩F| − |E∩G| − |F ∩G|+|E∩F∩G|

Aus der Aufgabenstellung ergeben sich nun die folgenden Werte.|E∪F∪G|= 100,|E|= 83,|F|= 45,|G|= 10,|E∩G|=|F ∩G|=|E∩F ∩G|= 0 und somit erhalten wir

100 = 83 + 45 + 10− |E∩F|,

also ist|E∩F|= 38. Es sprechen somit38 Personen auf dem Kreuzfahrtschiff Englisch und Französisch.

1.5 Abbildungen

Aufgabe:Wieviele Zahlen zwischen1und100sind durch zwei oder durch drei teilbar?

Lösung: Sei M = {x : x ∈ N∧1 ≤ x ≤ 100} und M_k = {x : x ∈ N∧1 ≤ x ≤ 100∧k|x}. Gesucht ist also|M₂∪M₃|. Durch auswerten des Venn-Diagramms erhalten wir|M₂∪M₃|=|M₂|+|M₃| − |M₂∩M₃|. Es ist|M₂|= ¹⁰⁰₂ = 50und|M₃|= ¹⁰⁰₃ = 33.

Nun müssen wir noch |M₂∩M3| bestimmen. Es ist M1 ∩M2 = {x : x ∈ N∧1 ≤x ≤ 100∧2|x∧3|x}={x:x∈N∧1≤x≤100∧6|x}=M₆, also|M₂∩M₃|=|M₆|= ¹⁰⁰₆ = 16.

Es gibt somit |M₁∪M₂|= 50 + 33−16 = 67Zahlen zwischen 1und 100die durch zwei und durch drei teilbar sind.

Aufgabe:Zu einer Weihnachtsfeier sind vier Personen eingeladen, wobei jede Person ein Geschenk mitgebracht hat. Die vier Geschenke werden durchgemischt und danach an die vier Personen wieder ausgegeben, so dass jeder genau ein Geschenk bekommt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass keiner sein eigenes Geschenk bekommt?

1.5 Abbildungen

Abbildungen hat man oft schon unterbewusst benutzt. Beispielsweise wenn man ein Rechteck gegeben hat, so kann man deren Umfang oder deren Flächeninhalt berechnet.

Die Idee einer Abbildung besteht nun darin jedem Element einer Menge A ein Element einer Menge B zuzuordnen. In unserem Fall ordnen wir der Menge aller Rechtecke A den Umfang zu, also ein Element aus der Menge R zu. Man kann auch der Menge der ganzen Zahlen Z wieder ein Element der ganzen Zahlen Z zuordnen, indem man jeder Zahl ihr doppeltes zuordnet. Man kann dann so einer Abbildung auch einen Namen ge- ben und schreibt dann f :A→B. Das f ist der Name der Abbildung, die MengeA ist der Definitionsbereich und die Menge B ist der Wertebereich. Die Abbildung f ordnet jedem Element des Definitionsbereiches eindeutig ein Element des Wertebereiches zu. Die können wir noch mal als Definition schreiben.

Definition 11 Eine Abbildung f :A→ B ist eine eindeutige Zuordnung bei der jedem Element des Definitionsbereiches A ein Element des Wertebereiches B zugeordnet wird.

Sei f : A → B eine Abbildung und ein Element a ∈ A wird dem Element b ∈ B zugeordnet, dann schreibt man f(a) =b(sprich f von aist gleich b).

Beispiele:

• Es werde jeder natürlichen Zahl ihren Nachfolger zugeordnet und diese Abbildung sollnheißen. Es ist dann n:N→Nmit n(k) =k+ 1.

• Es sei f : N → N eine Abbildung mit f(n) = n². Die Abbildung f ordnet jeder natürlichen Zahl ihr Quadrat zu.

• Sei f : {1; 2} → {3; 4; 5} mit f(1) = 3, f(1) = 4, f(2) = 5, dann ist f keine Abbildung, da der 1 nicht eindeutig ein Element des Wertebereiches zugeordnet wird.

• f :N→Nmit f(k) =Anzahl der Teiler vonkist eine Abbildung. Es ist beispiels- weise f(12) = 6, da die 12 genau6 Teiler hat, nämlich1,2,3,4,6,12.

• f :N→Nmit f(k) =√

k ist keine Abbildung, da z.B.√

26∈Nist.

• f :N→R+ mit f(k) =√

kist eine Abbildung.

• f : N → R mit f(k) = √

k ist keine Abbildung, da z.B. f(4) = 2, aber auch f(4) =−2ist.

• f : N → P(N) mit f(k) = {n : n ∈ N∧n|k} ist eine Abbildung. Es wird jeder natürlichen Zahlen die Menge ihrer Teiler zugeordnet. Beispielsweise ist f(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} oder f(0) =N\ {0}.

In der Mathematik geht man manchmal nicht exakt mit dem Begriff der Abbildung um. Betrachtet man beispielsweise die Abbildung f :R → R mit f(x) = ¹_x, so ist dies keine Abbildung, daf(0) = ¹₀ nicht definiert ist. Der0wird also kein Element des Werte- bereiches zugeordnet. Man sagt die Abbildungf ist an der Stelle0nicht definiert. Solche Abbildungen (die eigentlich keine sind) wollen wir auch zulassen.

Wir wollen nun eine weitere wichtige Mengenoperation einführen, das Kreuzprodukt von Mengen.

Definition 12 Seien A und B Mengen, dann ist das Kreuzprodukt A×B der Mengen die Menge

A×B ={(a, b) :a∈A∧b∈B}

Das Kreuzprodukt A×B von zwei Mengen ist also die Menge aller Paare (a, b), wo- bei die erste Komponente aus der Menge A kommt und die zweite Komponente aus der Menge B kommt. Sei beispielsweise A = {1,2,3} und B = {2,3,4}, dann ist A×B ={(1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4); (3,2); (3,3); (3,4)}. Zwei Paare (Elemente eines Kreuzproduktes von Mengen) sind genau dann gleich, wenn sie in ihren Kompo- nenten übereinstimmen. Es ist also(a, b) = (c, d)wenna=c undb=d. Die Paare(1,2) und (2,1) sind nicht gleich. Bei diesen Paaren kommt es auf die Ordnung an, deshalb nennt man diese Paare oft auch geordnete Paare. Mit Hilfe dieser Operation können wir auch Mengen ganz anders beschreiben. Es seiR die Menge aller Rechtecke mit den Sei- ten a und b. Wir wissen, dass ein Rechteck durch die Seitenlängen a und b eindeutig festgelegt ist, also kann man die MengeR auch schreiben alsR+×R+. Diese Menge be- steht aus allen Paaren deren Komponenten positive reelle Zahlen sind. Wir wollen jetzt die Abbildung beschreiben die jedem Rechteck sein Flächeninhalt zuordnet. Wir nennen diese Abbildung A gemäß der Bezeichnung für Flächeninhalte. Der Flächeninhalt eines Rechteckes mit den Seitenaundbist gerade das Produkta·b. Die Abbildung lautet also

A:R+×R+→R+ (a, b) =a·b

1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische VektorraumRⁿ Es ist also A(a, b) =a·b.

Wir können unsere Definition des Kreuzprodukt zweier Mengen auch auf mehr als zwei Mengen ausdehnen.

Definition 13 Seien A₁, . . . , A_k Mengen, dann istA₁×, . . . , A_k die Menge A1×. . .×Ak ={(a₁, . . . , ak) :a1∈A1∧. . .∧ak∈Ak}

Das Kreuzprodukt vonkMengen ist also eine Menge ausk-Tupeln. Wegen der Schreib- weise führen wir noch eine Definition an.

Definition 14 Sei A eine Menge, dann schreibt man A×. . .×A

| {z }

k-mal

=A^k.

Die Menge R³ besteht beispielsweise aus allen Tripeln (a, b, c), wobeia, b und creelle Zahlen sind.

1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische Vektorraum R

In diesem Abschnitt wollen wir einige Strukturen des Rⁿ und die damit verbundenen geometrischen Deutungen darstellen. Die Menge Rⁿ ist das n-fache Kreuzprodukt der Menge der reellen Zahlen R mit sich selbst. Sie besteht also aus n-Tupeln (a₁, . . . , a_n) von reellen Zahlen. Es ist zum Beispiel

(1,1.3,5,3.7)∈R⁴; (1,1,1,−14.7,3)∈R⁵ (1.1) Definition 15 Ein Element der Menge Rⁿ nennt man einen n-dimensionalen euklidi- schen Vektor. Man kennzeichnet einen solchen Vektor üblicherweise durch einen Pfeil über den Buchstaben~v oder durch einen Unterstrich v.

Wir ziehen die Kennzeichnung durch einen Pfeil über den Buchstaben vor. Der Über- sicht halber schreiben wir die Komponenten eines Vektors nicht nebeneinander sondern übereinander. Die Vektoren aus 1.1 bekommen dann die Gestalt







 1 1.3

5 3.7









;











 1 1 1

−14.7 3













Wir führen auf der MengeRⁿ nun eine Addition ein und zwar soll für ~v, ~w ∈Rⁿ die Summe

~ v+w~ =





 v₁

... v_n





+





 w₁

... w_n





=







v₁+w₁ ... v_n+w_n







sein. Die Vektoren werden also Komponentenweise addiert. Sei nuna∈R, dann führen wir die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar² folgendermaßen ein

a·~v=a·





 v1

... vn





=





 a·v1

... a·vn







Die Multiplikation wird also Komponentenweise durchgeführt.

Beispiel:



 1 5 2



+





−7 2 21



=





−61 7 23



; 5·











 1 3

−2 4 0













=











 5 15

−10 20

0













Hat man zwei Vektoren unterschiedlicher Dimension, so ist die Addition nicht definiert.

Man kann also einen zweidimensionalen Vektor nicht mit einen dreidimensionalen Vektor addieren.

Wir wollen den Rⁿ nun geometrisch Interpretieren. Wir nehmen dazu ein Element aus dem R². Sei also a ∈ R² mit a = (1,2). Um dieses Element geometrisch eine Bedeu- tung zu geben benötigen wir noch ein Hilfsmittel, ein kartesisches Koordinatensystem.

Ein kartesisches Koordinatensystem sind zwei im rechten Winkel aufeinander stehende Geraden. Die beiden Geraden sind dabei gleichmäßig unterteilt. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden wird als Koordinatenursprung ausgezeichnet und wird mitO bezeichnet.

Wir setzen den Koordinatenursprung gleich dem Element(0,0)aus demR². Das Element (1,2)wird nun folgendermaßen in das Koordinatensystem eingezeichnet.

2Man nennt die reellen Zahlen im Zusammenhang mit Vektoren auch Skalare

1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische VektorraumRⁿ

Auf der waagerechten Achse, der sogenannten Abzisse wird die erste Komponente ab- getragen. Um den anderen Wert abzutragen bewegt man sich parallel zur senkrechten Achse, der sogenannten Ordinate, zwei Einheiten nach oben und kommt an einer Stelle im Koordinatensystem an. Dieser Punkt identifizieren wir mit unserem Element (1,2).

Aufgrund dieser geometrischen Bedeutung nennt man die Elemente aus dem Rⁿ auch Punkte. Meint man den Vektor (1,2), so meint man geometrisch die Richtung vom Ko- ordinatenursprung zum Punkt (1,2), dies wird durch ein Pfeil kenntlich gemacht. Der Vektor zeigt also auf einen Punkt im Koordinatensystem, deshalb bezeichnet man ihn auch als Ortsvektor des Punktes(1,2). Da ein Vektor eindeutig durch seine Richtung und durch seine Länge eindeutig gekennzeichnet ist, sind Vektoren von der Lage im Raum unabhängig. Die Vektoren in der folgenden Abbildung sind also alle die selben.

Diese Vektoren haben alle die selbe Richtung und sind alle gleich lang. Die Länge eines Vektors nennt man auch seinen Betrag. Man kann Vektoren also beliebig verschieben.

Wir wollen nun zur Interpretation des Produktes eines Vektors mit einem Skalar kommen.

Multipliziert man einen Vektor mit einem Skalar, so ändert sich nicht die Richtung des Vektors, sondern nur seine Länge. Multipliziert man einen Vektor mit zwei so wird er doppelt so lang. Multipliziert man einen Vektor mit ¹₂, so wird er halb so lang. Ist das Skalar nun eine negative Zahl, so kehrt sich die Richtung um und der Vektor wird um den Betrag des Skalars verlängert oder verkürzt.

1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische VektorraumRⁿ

Hat man zwei zweidimensionale Vektoren~v undw~ gegeben, so erhält man die Summe dieser Vektoren folgendermaßen: Man verschiebt den Vektor~v, so dass sein Anfangspunkt am Ende des Vektorsw~ ist. Die Summe~v+w~ ist der Ortsvektor auf dem der verschobene Vektor w~ zeigt.

Mit diesen operationen können wir auch besondere Punkte bestimmen. Seien A und B zwei Punkte in der Ebene. Die Punkte A und B sind die Endpunkte einer Strecke die wir mitAB bezeichnen. Will man einen Vektor haben der mit der Richtung und der Länge der Strecke übereinstimmt, so bildet man entweder die die Differenz A~−B~ oder B~−A~ der Ortsvektoren der PunkteAundB. Die beiden Vektoren unterscheiden sich nur in der um das Vorzeichen. Unterscheidet sich ein Vektor von einem anderen durch sein Vorzeichen, so sagt man sie sind entgegengesetz orientiert. Will man den Mittelpunkt der Strecke bestimmen, so nimmt man den Mittelwert der OrtsvektorenA~ und B, also~

A+~ B~

2 . Die Abbildung verdeutlicht die Rechnung.

1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische VektorraumRⁿ

Aufgabe:Es seien die Punkte A= (2,5)und B = (6,3)gegeben. Man berechne den Mittelpunkt der Strecke AB.

Lösung:Es seien A~ = 2

5

undA~= 6

3

Die Ortsvektoren der PunkteAundB undM der Mittelpunkt der StreckeAB. Es ist dann

M~ = A~+B~ 2 = 1

2 2

5

+ 6

3

= 1 2

8 8

= 4

4

Der Mittelpunkt M der Strecke AB hat also die Koordinaten(4,4).

Wir hatten oben gesagt, dass ein Vektor eindeutig durch seine Richtung und seine Länge bestimmt ist. Wir können einen Vektor aber auch eindeutig durch seine Koordi- natendarstellung angeben. Wir wollen nun eine Formel angeben wie man aus der Koor- dinatendarstellung eines vektors seine Länge berechnen kann.

Satz 1 Es sei~v ein Vektor, dann heisst die Zahl

||~v||= q

v²₁+v₂²+. . .+v_n² die Länge des Vektors.

Wir können nun also die Länge eines Vektors berechnen. Sei ~v = 2

5

, dann ist die Länge von~v, die Zahl||~v||=√

2²+ 5²=√

29≈5.385164807.

Aufgabe:Durch die PunkteA= (−2,3)undB = (1,5)ist eine StreckeAB gegeben.

Man berechne die Länge der StreckeAB.

Lösung:Der Vektor der mit der Länge der Strecke übereinstimmt ist der VektorA−~ B.~ Die Länge der StreckeAB ist daher

||A~−B||~ =p

(−2−1)²+ (3−5)² =√

13≈3.605551275.

Aufgabe: Durch die Punkte A = (1,5),B = (−3,7) und C = (1,3) ist ein Dreieck gegeben, man berechne den Umfang des Dreiecks.

Wir wollen noch angeben wann zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Wir führen noch ein Produkt von Vektoren ein.

Definition 16 (Skalarprodukt) Seien ~u, ~v ∈Rⁿ zwei Vektoren, dann nennt man die Zahl

~

u•~v=u1·v1+. . . un·vn

das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

Wir haben das Skalarprodukt für den folgenden wichtigen Satz definiert.

Satz 2 Seien~u, ~v∈Rⁿmit~u, ~v6=~0³, zwei Vektoren.~uund~vstehen genau dann senkrecht aufeinander, falls

~

u•~v= 0.

Nach diesem Satz stehen beispielsweise die Vektoren

~ u=



 1 0 0



 und~v=



 0 1 0





senkrecht aufeinander.

Aufgabe: Man prüfe, ob die Vektoren~u= (1,2)und~v= (4,−2)senkrecht aufeinan- der stehen. Man prüfe dies auch zeichnerisch.

3~0 = (0,0, . . . ,0)

1.6 Der reelle n-dimensionale euklidische VektorraumRⁿ

Aufgabe:Man beweise, dass in einem Quadrat die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.

Lösung:O.B.d.A. habe das QuadratABCDdie Seitenlänge1. Wir setzen den Punkt Ain den Koordinatenursprung, alsoA= (0,0). Die SeitenADundABlegen wir parallel zu den Koordinatenachsen, also B = (1,0) und D= (0,1). Den Punkt C erhalten man dann durch Vektoraddition der Ortsvektoren von B undD. Es ist somit

B~ +D~ = 1

0

+ 0

1

= 1

1

Der Punkt C hat also die Koordinaten C = (1,1). Wir müssen jetzt überprüfen, ob die Strecken AC und BD senkrecht aufeinander stehen. Die Vektoren denen die Strecken AC undBD entsprechen sindA~−C~ =

−1

−1

undB~ −D~ = 1

−1

. Es ist −1

−1

• 1

−1

= (−1)·1 + (−1)·(−1) =−1 + 1 = 0.

Nach Satz 2 stehen die Vektoren senkrecht aufeinander und somit auch die Diagonalen.

Aufgabe:Man untersuche, ob die Raumdiagonalen in einem Würfel senkrecht aufein- ander stehen.

Hinweis: Man darf annehmen, dass sich die Raumdiagonalen schneiden.

Aufgabe:Man untersuche, ob die Diagonalen in einem Rechteck senkrecht aufeinander stehen.

Aufgabe:Man untersuche, ob in dem Parallelogramm ABCD die Diagonalen senk- recht aufeinander stehen.A= (1,1);B = (6,1);C= (9,5);D= (4,5)