Stochastische Prozesse WS 2003 Ubungsblatt #1¨
09.10.2003
1. Die endlichdimensionalen Verteilungen der Brownschen Bewegung in R1 sind folgen- dermaßen definiert:
Pt1,... ,tn(A) =P(W(t1)< x1, . . . , W(tn)< xn)
=R . . .R
A 1 (2πt1)1/2e−
x2 1
2t1 1
(2π(t2−t1))1/2e−(x2−x1)
2 2(t2−t1) ×. . .
×(2π(t 1
n−tn−1))1/2e−
(xn−xn−1)2
2(tn−tn−1) dx1. . . dxn Man beweise, dass diese Menge konsistent und permutations-kovariant ist.
2. Die endlichdimensionalen Verteilungen des Poisson-Prozesses sind folgendermaßen de- finiert:
Pt1,... ,tn(r1, . . . , rn)) =P(Xt1 =r1, . . . , Xtn =rn) =
=Qn
k=1e−λ(tk−tk−1) (λ(tk−t(rkk−1−rk−1))rk)!−rk−1
Man beweise, dass diese Menge konsistent und permutations-kovariant ist.
3. Es seiW(t) eine eindimensionale Brownsche Bewegung, und 0≤t1 ≤t2. Man berechne EW(t1)W(t2), E(W(t2)−W(t1))2.
4. Es sei W(t) eine eindimensionale Brownsche Bewegung und tn > 0, tn → t. Man beweise, daß W(tn)−→P W(t) ist.
5. Es sei ξ1, ξ2, . . . unabh¨angige diskrete ZV, und Xn =ξ1+. . .+ξn. Man beweise, dass {Xn, n≥1} ein Markov-Prozess ist.
6. Ein stochastischer Prozess {Xn, n = 1,2, . . .} ist folgendermaßen definiert: X1 und X2 sind unabh¨angige ZV, welche die Werte±1 mit Wahrscheinlichkeit 1/2-1/2 annehmen, und f¨ur n≥ 3, Xn = (Xn−1+Xn−2)/2. Ist {Xn, n = 1,2, . . .} station¨ar? Ist {Xn, n = 1,2, . . .} ein Markov-Prozess?
7. Man beweise, dass Pn
k=0
¡n
k
¢2
=¡2n
n
¢.
