Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Institut f¨ ur Mathematik
Prof. Dr. H. Pabel Ralf Winkler
W¨urzburg, den 14. Mai 2007
4. ¨ Ubung zur Analysis IV (Differentialgleichungen)
Sommersemester 2007
15.) (4 Punkte)
a.) Vorgegeben sei eineC2-Funktionx∈I 7→y0(x)∈Rmit∀x∈I y000(x)6= 0. Stellen Sie eine Clai- raut’sche Differentialgleichung y=xy0−g(y0) auf, die genau die Funktiony0 sowie s¨amtliche Tangenten an sie als L¨osungen besitzt.
b.) Wenden Sie das Ergebnis aus a.) auf die Halbkreise x∈R7→y0(x) =p
a2−x2∈R (a, x >0) an.
16.) (5 Punkte)
a.) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung y=xy0+ y0
y0−1. b.) L¨osen Sie das AWP
y=x2ey0+xy0, y(1) = 1.
17.) (3 Punkte)Es seiy: [0,1]→Rstetig. Zeigen SieohneVerwendung des Gronwall-Lemmas:
∀t∈[0,1] 0≤y(t)≤ Z t
0
y(s)ds ⇔ y≡0.
18.) (5 Punkte) Welche der folgenden Funktionen f : D ⊂ R2 → R gen¨ugen in der angegebenen MengeD einer lokalen oder globalen Lipschitzbedingung bez¨uglich y? Geben Sie, wenn m¨oglich, Lipschitzkonstanten an:
a.) f(x, y) =xtany, D=]0,2π[×]0,π3[ b.) f(x, y) =y2/3excosx, D= [0,1]×]0,2[
c.) f(x, y) =exy2+xsiny+1y, D= [1,3]×[1,3].
19.) (5 Punkte)Auf dem QuadratQ= [−1,1]×[−1,1] sei die Funktionf gegeben durch
f(x, y) =
−2x f¨urx2≤y 2x−4yx f¨ur 0< y < x2 2x f¨ury≤0.
a) Zeigen Sie, dassf stetig ist, aber keine lokale Lipschitzbedingung bzgl.y erf¨ullt.
b) Versuchen Sie, das Anfangswertproblemy0 =f(x, y), y(0) = 0 durch Picard’sche Iteration zu l¨osen. Wie lauten die Picard’schen Iterierten?
Abgabe der schriftlichen L¨osungen bis sp¨atestens Montag, den 21. Mai, 10:00 Uhr, in die richtigen Briefk¨asten neben der Mathe/Info-Teilbibliothek.
