Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Institut f¨ ur Mathematik
Prof. Dr. H. Pabel
Christian Lageman, Martin Lamprecht, Ralf Winkler
W¨urzburg, den 31. Mai 2006
6. ¨ Ubung zur Analysis II
Sommersemester 2006
25.) (2 Punkte)Bestimmen Sie eina∈ mit
|a−log(1.1)| ≤ 0.001. 26.) (4 Punkte)Man bestimme die Taylor-Reihe von
a.) x7→ sin2(πx) inx0= 1, b.) x7→ x12 inx0= 2.
Man stelle jeweils fest, ob und ggf. in welchem Bereich die Funktionen durch ihre Taylor-Reihe dargestellt werden.
27.) (4 Punkte)Wir betrachten die Funktionf: → , f(x) =
0 f¨urx≤0 exp(−1x) f¨urx >0 .
a.) Zeigen Sie, dass die Funktion auf +unendlich oft differenzierbar ist mit f(n)(x) = P2n
„1 x
«
·exp(−1
x), (n∈ 0, x∈ +) wobei P2nein Polynom vom Grad≤2nist.
b.) Zeigen Sie, dassf auf ganz unendlich oft differenzierbar, aber nicht reell analytisch ist.
28.) (6 Punkte)Man zeige, dass die durch
f(x) =
∞
X
k=0
1 k!
1 1 + 4kx2
erkl¨arte Funktionfin unendlich oft differenzierbar ist. Man berechnef(n)(0) f¨ur jedesn∈ 0 und zeige, dass die Taylor-Reihe vonf inx0= 0 f¨ur allex6= 0 divergiert.
Hinweis:Man zeige, dass dien.te Ableitung vong(t) =1+t12 von der Form g(n)(t) = Pn(t)
(1 +t2)n+1,
ist mit einem PolynomPnvom Grad≤n. Insbesondere istg(n) also beschr¨ankt. Man berechneg(n)(0) aus der Potenzreihendarstellung vong.
29.) (6 Punkte)
a.) Es seiq ein Polynom vom Grad≤pundx0∈ . Zeigen Sie: Gibt es eine KonstanteC >0 und eine UmgebungU(x0) mit
|q(x)| ≤ C|x−x0|p+1 f¨urx∈U(x0), so istq≡0.
b.) Es seiI ein kompaktes Intervall,x0 ∈I,f∈Cp+1(I) undP ein Polynom vom Grad≤p. Man zeige mit Hilfe von a.): Gibt es eine KonstanteM >0 mit
|f(x)−P(x)| ≤M|x−x0|p+1 f¨urx∈I ,
so handelt es sich beiP um dasp.te Taylorpolynom vonf zur Stellex0, d.h. es istP(x) = Tp|x0(x) f¨urx∈ .
Abgabe der schriftlichen L¨osungen bis sp¨atestensMittwoch, den 7. Juni 2006, 11:00 Uhr, in die richtigen Briefk¨asten neben der Mathe/Info-Teilbibliothek.
