Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Institut f¨ ur Mathematik
Prof. Dr. H. Pabel Ralf Winkler
W¨urzburg, den 15. November 2006
5. ¨ Ubung zur Analysis III
Wintersemester 2006/07
21.) (4 Punkte)
a.) Zeigen Sie: Eine Funktiony : + → ist genau dann eine L¨osung der linearen Differential- gleichung
x2y00 +axy0 +by = 0 (x >0), (1) wenn die Funktion t∈ 7→y(et) die lineare Differentialgleichung
u00 + (a−1)u0 +bu = 0 (2)
l¨ost.
b.) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem von (1) f¨ur die F¨alle
i.) (a, b) = (1,1) und ii.) (a, b) = (3,1). 22.) (4 Punkte)
a.) Von der Differentialgleichung
y00 + a(x)y0 +b(x)y = 0 (x∈I ⊂ )
sei eine nichttriviale L¨osungy1:I→ bekannt. Zeigen Sie, dass durch den Ansatz y(x) =y1(x)·u(x)
eine zweite, von y1 linear unabh¨angige L¨osungy2:I → gewonnen werden kann.
b.) Bestimmen Sie f¨ur die Differentialgleichung
x2y00 −5xy0 + 9y = 0 (x >0)
die L¨osung y1 durch den Ansatz y(x) = xα und eine zweite L¨osung y2 durch die Methode aus a.).
23.) (4 Punkte)Es seif : [a, b]→ stetig und positiv. Zeigen Sie die Ungleichung Z b
a
f(x)dx
!
· Z b
a
1 f(x)dx
!
≥ (b−a)2.
24.) (5 Punkte)Es sei
Q := [a1, b1]×. . .×[an, bn] (∀i=1,...,n ai< bi) einn-dimensionaler Quader. Ferner sei
Qx := [a1, x1]×. . .×[an, xn] (∀i=1...,n ai< xi< bi).
→ Bitte wenden!
Zeigen Sie, dass der OperatorS:C0(Q)→C0(Q), definiert durch S(f)(x) :=
Z
Qx
f(ξ)dξ (x∈Q)
ein linearer Operator inC0(Q) ist mitkSk=|Q|bzgl. der Maximumsnormkfk∞. Man zeige ferner, dass bez¨uglich der gewichteten Maximumsnorm
kfkα;∞ = max
x∈Q{|f(x)|e−α(x1+...+xn)} (α >0) die Operatornorm abgesch¨atzt werden kann zu
kSkα ≤ 1 αn.
Abgabe der schriftlichen L¨osungen bis sp¨atestens Mittwoch, den 22. November,12:00 Uhr, in die rich- tigen Briefk¨asten neben der Mathe/Info-Teilbibliothek.
Hinweis:Beginnend mit diesem ¨Ubungsblatt darf jeder L¨osungsvorschlag nur noch den Namen maximal zweierBearbeiter tragen.
