Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Institut f¨ ur Mathematik
Prof. Dr. H. Pabel Ralf Winkler
W¨urzburg, den 17. Januar 2007
12. ¨ Ubung zur Analysis III
Wintersemester 2006/07
52.) (4 Punkte)Es seiB⊂ nL-messbar und die Funktionf sei L-integrierbar ¨uberB. Zeigen Sie:
k→∞lim Z
B\Uk(0)
|f(x)|dx = 0. 53.) (4 Punkte)
a.) Gegeben seien eine L-messbare MengeB⊂ n undf:B→ . Zeigen Sie:
f ist messbar aufB ⇔ f+, f−sind messbar aufB ⇒ |f|ist messbar aufB. b.) Folgt aus der Messbarkeit von|f|aufB im Allgemeinen auch die Messbarkeit vonf aufB?
54.) (3 Punkte)Gegeben seien die Funktionen
∀k∈ fk : [0,1]→ , fk(x) =k3min
0, x·
„ x−1
k
«ff . Berechnen Sie die Grenzfunktionf= lim
k→∞fk sowie die Integrale
k→∞lim Z
[0,1]
fk(x)dx und Z
[0,1]
f(x)dx . Wieso widerspricht dies nicht dem Satz von der majorisierten Konvergenz?
55.) (5 Punkte)Es seif : [0,∞[→ lokalR-integrierbar und nichtnegativ. Zeigen Sie: Genau dann existiert das uneigentliche Riemann-Integral
R→∞lim ZR
0
f(x)dx , wenn das L-Integral
Z
[0,∞[
f(x)dx
existiert. Im Falle der Existenz eines der beiden Integrale stimmen diese ¨uberein.
56.) (5 Punkte)Es seiB⊂ neine L-messbare Menge undf:B→ sei L-integrierbar ¨uberB.
a.) Bestimmen Sie den (punktweisen) Limes der Funktionenfolge
∀k∈ ∀x∈B fk(x) =
(k falls|f(x)|> k
|f(x)| sonst.
b.) Zeigen Sie, dass
k→∞lim Z
B
fk(x)dx = Z
B
|f(x)|dx .
c.) (Absolutstetigkeit des L-Integrals)Zeigen Sie: Zu jedem >0 gibt es einδ >0, so dass f¨ur alle messbaren MengenA⊂B mitλ(A)< δgilt
Z
A
|f(x)|dx < . Hinweis:Benutzen Sie|f|=|f| −fk+fk.
Abgabe der schriftlichen L¨osungen bis sp¨atestens Mittwoch, den 24. Januar,12:00 Uhr, in die richtigen Briefk¨asten neben der Mathe/Info-Teilbibliothek.
Klausurtermin: 7. Februar, 10:15 Uhr, HS 2. Zulassungsinformationen ab Mittwoch, den 31. Januar.
