Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Institut f¨ ur Mathematik
Prof. Dr. H. Pabel Ralf Winkler
W¨urzburg, den 10. Januar 2007
11. ¨ Ubung zur Analysis III
Wintersemester 2006/07 47.) (4 Punkte)Zeigen Sie, dass es sich bei der Mengenfunktion
µ? : P( n)→[0,∞], µ?(E) =
(0 fallsEabz¨ahlbar 1 fallsEuberabz¨ahlbar¨
um ein ¨außeres Maß handelt und bestimmen Sie das System allerµ?-messbaren Mengen, d.h. alle Teil- mengenB⊂ n mit
∀E⊂ n µ?(E∩B) +µ?(E\B) = µ?(E).
48.) (5 Punkte)Es sei B⊂ n eineL-messbare Menge undf, g:B → seienL-integrierbar aufB. Zeigen Sie:
a.) Auch die Funktion|f|istL-integrierbar aufB mit
˛
˛
˛
˛ Z
B
f(x)dx
˛
˛
˛
˛
≤ Z
B
|f(x)|dx .
b.) Beweisen Sie
∀x∈B max{f(x), g(x)} = 1
2(f(x) +g(x)) +1
2|f(x)−g(x)|
und zeigen Sie damit, dass auch die Funktionenuundv, definiert durch
∀x∈B u(x) := max{f(x), g(x)} und v(x) := min{f(x), g(x)}
L-integrierbar sind aufB.
49.) (4 Punkte)Zeigen Sie f¨ur eine nichtnegativeL-integrierbare Funktionf:B⊂ n→ : Z
B
f(x)dx = 0 ⇒ f(x) = 0 fast ¨uberall aufB .
Hinweis:Zeigen Sie zun¨achst, dass f¨ur alleα >0 die MengenBα:={x∈B|f(x)≥α}Nullmengen sind, indem Sie ihr L-Maß durch geeignete Lebesgue-ObersummenLf(Z) absch¨atzen.
50.) (5 Punkte)Sei (Bk)k∈ eine Zerlegung der L-messbaren Menge B ⊂ n. Zeigen Sie f¨ur eine beliebige Funktionf :B→ :
f istL-integrierbar ¨uberB ⇔ f istL-integrierbar ¨uber jeder MengeBk
und
∞
X
k=1
Z
Bk
|f(x)|dx konvergiert.
Es gilt dann
Z
B
f(x) =
∞
X
k=1
Z
Bk
f(x)dx .
51.) (5 Punkte) Es sei U ⊂ n offen und f : U → n stetig differenzierbar. Ferner sei M ⊂ U eine L-Nullmenge. Zeigen Sie, dassf[M] eineL-Nullmenge ist.
Abgabe der schriftlichen L¨osungen bis sp¨atestens Mittwoch, den 17. Januar,12:00 Uhr, in die richtigen Briefk¨asten neben der Mathe/Info-Teilbibliothek.
